SAS软件与统计应用教程 教学课件 作者 汪远征 徐雅静 ch5.ppt

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1、第五章方差分析5.1方差分析中的有关概念5.2单因素方差分析5.3双因素方差分析5.4均值估计与多重比较5.1方差分析中的有关概念5.1.1单因素方差分析问题与模型5.1.2双因素方差分析问题与模型5.1.3方差分析中的基本假定5.1.1单因素方差分析问题与模型1.数学模型进行单因素方差分析时，需要得到如图5-1所示的数据结构。设xij表示第i个总体的第j个观测值（j=1，2，…，ni，i=1，2，…，m），希望由此对不同水平下总体的均值进行比较。观测值（j）A因素（i）A1A2…Am1x11x21…xm12x12x22…xm2……………ni…对此，观察到的xij常用以下的模型表示

2、：xij=i+ij，1≤j≤ni，1≤i≤m其中i表示第i个总体的均值，ij为随机误差，在方差分析中为了得到有效的检验法还常假定ij满足：●ij为相互独立的；●ij都服从正态分布，且ij的均值都为0，方差都相同。2.方差分析的过程为了方便起见，可将i记为：i=+i其中称为总均值，i=i–，i=1，2，…，m称为因素A的第i个水平的附加效应，这样比较不同水平下均值是否相同。问题的检验假设：H0：1=2=…=m，H1：1，2，…，m不全相等；就可以表示为：H0：1=2=…=m=0，H1：1，2，…，m不全为零。在H0成立下检验用统计

3、量：其中、称为组间、组内（变差）平方和；这里称为组内平均；称为总平均，n=n1+n2+…+nm；另外称为全部（变差）平方和；可以证明SST=SSMA+SSE。当原假设成立时，各总体均值相等，各样本均值间的差异应该较小，模型平方和也应较小，F统计量取很大值应该是稀有的情形。所以对给定显著性水平α(0,1)，若p=P{FF0}<α，则拒绝原假设H0（F0为F统计量的观测值），可以认为所考虑的因素对响应变量有显著影响；否则不能拒绝H0，认为所考虑的因素对响应变量无显著影响。3.方差分析表通常将上述计算结果表示为表5-1所示的方差分析表。表5-1单因素方差分析表其中，MSA=SSMA/

4、(m–1)，MSE=SSE/(n–m)。利用方差分析表中的信息，就可以对因素各水平间的差异是否显著做出判断。来源Source自由度DF平方和SunofSquare平均平方和MeanSquareF统计量Fvaluep值Pr>F组间m–1SSMASSMA/(m–1)MSA/MSEp组内n–mSSESSE/(n–m)全部(C-tatol)n–1SSA+SSE5.1.2双因素方差分析问题与模型1.无交互作用的双因素方差分析对于多因素问题，通常考虑有重复观测的情形，其数据结构如图5-2所示。图5-2双因素方差分析中数据结构观测值A因素(i)平均值A1A2…AlB因素(j)B1x111…x11

5、nx211…x21n…xl11…xl1nB2x121…x12nx221…x22n…xl21…xl1n……………Bmx1m1…x1mnx2m1…x2mn…xlm1…xlmn平均值若第一个因素A有l个水平，第二个因素B有m个水平。在因素A的第i个水平和因素B的第j个水平下进行了多次观测，记为{xijk，1≤k≤n}。对xijk考虑以下模型：xijk=+i+j+ijk，1≤i≤l，1≤j≤m，1≤k≤n其中表示平均的效应，i和j分别表示因素A的第i个水平和因素B的第j个水平的附加效应，ijk为随机误差，同样这里的随机误差也假定它是独立的并且服从等方差的正态分布。要说明因素

6、A有无显著影响，就是要检验如下假设：H0A：1=2=…=l，H1A：1，2，…，l不全相等；要说明因素B有无显著影响，就是要检验如下假设：H0B：1=2=…=m，H1B：1，2，…，m不全相等；而模型无显著效果是指以上两个假设的原假设同时成立。在H0A、H0B成立时，检验用统计量：对于给定的显著性水平α当值p=P{FA>FA0}<α时拒绝H0A；当值p=P{FB>FB0}<α时拒绝H0B。其中，FA0为FA统计量的观测值，FB0为FB统计量的观测值。2.有交互作用的多因素方差分析对于有交互作用的观测{xijk}，采用以下的模型：xijk=+i+j+i

7、j+ijk，1≤i≤l，1≤j≤m，1≤k≤n其中表示平均的效应，i和j分别表示因素A的第i个水平和因素B的第j个水平的附加效应，ij表示因素A的第i个水平和因素B的第j个水平交互作用的附加效应。ijk为随机误差，这里也假定它是独立的并且服从等方差的正态分布。注意，其中n必须大于1，即为了检验交互作用，必须有重复观测。要说明交互作用有无显著影响，就是要检验如下假设：H0(A*B)：ij=0（1≤i≤l，1≤j≤m），Hl(A*B)：ij不全为零（1≤i