2015届高考数学(理科)一轮总复习课件2-11 导数在函数.ppt

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1、[最新考纲展示]1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).第十一节 导数在函数研究中的应用利用导数研究函数的单调性1.函数f(x)在某个区间(a,b)内的单调性与其导数的正负有如下关系(1)若,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)若,则f(x)在这个区间内是常数.2.利用导数判断函数单调性的一般步骤(1

2、)求;(2)在定义域内解不等式;(3)根据结果确定f(x)的单调区间.f′(x)>0f′(x)<0f′(x)=0f′(x)f′(x)>0或f′(x)<0____________________[通关方略]____________________1.求函数f(x)的单调区间,也是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集,但单调区间不能脱离定义域而单独存在,求单调区间要坚持“定义域优先”的原则.2.由函数f(x)在区间[a,b]内单调递增(或递减),可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立,而不是f′(x)>

3、0(或<0)恒成立,“=”不能少.1.已知函数f(x)的导函数f′(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则f(x)的图象可能是()解析:由图象知,当x<0时,导函数f′(x)=ax2+bx+c<0,相应的函数f(x)在该区间上单调递减;当x>0时,由导函数f′(x)=ax2+bx+c的图象可知,导函数在区间(0,x1)内的值是大于0的,因此在此区间内函数f(x)单调递增.选D.答案:D2.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为________.解析:由f(x)=x3-15x2-33x+6得,f′(x)=3x

4、2-30x-33,令f′(x)<0,即3(x-11)(x+1)<0,求得-1

5、侧,右侧,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.f′(x)<0f′(x)>0f′(x)>0f′(x)<0____________________[通关方略]____________________f′(x0)=0是x0为f(x)的极值点的非充分非必要条件.例如,f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是极值点;又如f(x)=

6、x

7、,x=0是它的极小值点,但f′(0)不存在.3.函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3处取得

8、极值,则a=()A.2B.3C.4D.5解析:f′(x)=3x2+2ax+3.∵函数f(x)=x3+ax2+3x-9,在x=-3处有极值.∴f′(-3)=0.3×9-6a+3=0.∴a=5.答案:D4.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为________.解析:f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),由题意知f′(x)=0有两个不等的实根,故Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)>0,即a2-a-2>0,解得a>2或a<-1.答案:a>2或a<-15.函数f(x)=x3+ax(x∈

9、R)在x=1处有极值,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程是________.解析:因为函数f(x)=x3+ax(x∈R)在x=1处有极值,所以f′(1)=3×12+a=0,得a=-3.故所求切线的斜率为k=a=-3,因此切线方程为y=-3x.答案:y=-3x利用导数研究函数的单调性【例1】(2013年高考全国新课标卷Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m≤2时,证明f(x)>0.反思总结1.当f(x)不含参数时,可以通过解不等式f′(x)>0(

10、或f′(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间.2.导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤:(1)求f′(x);(2)确认f′(x)在(a,b)内的符号;(3)作出结论:f′(x)>0时为增函数;f′(x)<0时为减函数.利用导数研究函数的极值【例2】(2013年高考重庆卷)

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