导数的运算法则解读.ppt

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1、导数的运算法则一、背景知识与引入方法而对比较复杂的函数的求导应借助于微分法则.这些法则的建立是以极限理论和导数定义作为例如，商的求导法则就有繁简不同的表述方法一：根据导数定义可以求一些简单函数的导数.基础，法则的推导应力求简短.方法.以上表述可简化为：令对于可导函数，当时，，从而有详细内容见该知识点讲解方法（参考居余马、葛严麟主编《高等数学》第Ⅱ卷.）先解决的导数，然后按乘积求导法则方法二：二、该知识点的讲解方法（1）依据导数定义和重要极限先解决基本初等函数中常值函数，正整次幂函数、指数函数、自然对数函数、正余弦函数的求导公式.（

2、2）依据极限理论，推导出和、差、积、商的求导法则，再以这些法则是和已有的导数结果，给出对数函数、正余切函数、和正余割函数、的求导公式.（3）建立反函数的求导法则，并由此给出（4）由导数定义及极限理论推导复合函数反正弦、反余弦、反正切、反余切函数的求导公式.的求导法则，并借此给出基本初等函数中幂函数（为任意实数）的求导公式.微分法则表明，初等函数的导数的具体计算都切实可行，特别是复合函数的求导法则，使复杂函数的求导计算系统化，简单化.三、基本初等函数的求导公式1．（c为常数）2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.13.14.1

3、5.16.12.证明：1.2.（为自然数）3.特别时，6.7.类似地可以证明四、导数的四则运算法则定理1设函数和都在点处可导，（1）（2）特别地（为常值）则它们的和、差、积、商（分母为零的点除外）在点处可导，且有：都（3）特别地证明：（1）设（2）设由于在点处可导，故在点处连续，所以有.特别当（常数）时，由上式立刻有（3）设，则成立.再由在点处可导（必连续）且,即得：再由（2），成立.注：定理1中法则（1）（2）可推广到有限个可导函数情形，例如，设，，均可导.则有，五、证明基本初等函数的部分求导公式5.9.类似地可证11.类似地可

4、证六、例题例1设，求.解：故例2设，求.解：七、反函数的求导法则定理2设在区间内单调、可导且则它的反函数在区间内也可导，，即.且有由于在内单调、可导（必所以，反函数在相应的区间于是，反函数证明：内也单调连续，因此当时，并有时，对的导数为连续），利用此定理证明如下公式：13.设，是的反函数.并且，在内单调增加可导，所以证明：且，类似地可证15.设，其反函数在内单调、可导，且，所以在相应区间内，证明：类似地可证八、复合函数的求导法则若函数是由复合而成，且满足I：在点可导；在点可导，其导数为定理3II：在可导，则复合函数或即此时，且有当

5、时，,从而推知，其中（当时），时规定证明：由II有，进而有再由I有于是（其中为任意实数），设是由复合而成，于是且容易算出：证明：由于例3曲线上哪点的切线与直线平行？直线的斜率.令，解：则，此时,故所求点为.例4，求.视为复合而成，因此解：例5，求.解：视为复合而成，又因，所以例6，求.不必写出中间变量，然后逐层求导.解：例7，求.解：注：复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.如：设，则复合函数的导数为例8，求.分解为，又因解：所以例9，求.解：