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《2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2利用导数解决函数的单调性问题教学案苏教版.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二节 利用导数解决函数的单调性问题［最新考纲］ 1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不会超过三次） 函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f（x）在区间（a，b）上可导f′（x）＞0f（x）在（a，b）内单调递增f′（x）＜0f（x）在（a，b）内单调递减f′（x）＝0f（x）在（a，b）内是常数函数1.在某区间内f′（x）＞0（f′（x）＜0）是函数f（x）在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件.2.可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是对∀x∈（a，b），都有f′（x）≥0（
2、f′（x）≤0）且f′（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零.一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）若函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f′（x）＞0.（ ）（2）如果函数f（x）在某个区间内恒有f′（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性.（ ）（3）在（a，b）内f′（x）≤0且f′（x）＝0的根有有限个，则f（x）在（a，b）内是减函数.（ ）［答案］ （1）× （2）√ （3）√二、教材改编1.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）A.在区间（－3,1）上f（x）是增函数B.在区间（
3、1,3）上f（x）是减函数C.在区间（4,5）上f（x）是增函数-8-D.在区间（3,5）上f（x）是增函数C ［由图象可知，当x∈（4,5）时，f′（x）＞0，故f（x）在（4,5）上是增函数.］2.函数f（x）＝cosx－x在（0，π）上的单调性是（ ）A.先增后减 B.先减后增C.增函数D.减函数D ［因为f′（x）＝－sinx－1＜0在（0，π）上恒成立，所以f（x）在（0，π）上是减函数，故选D.］3.函数f（x）＝x－lnx的单调递减区间为 .（0,1］ ［函数f（x）的定义域为{x
4、x＞0}，由f′（x）＝1－≤0，得0＜x≤1，所以函数f
5、（x）的单调递减区间为（0,1］.］4.已知f（x）＝x3－ax在［1，＋∞）上是增函数，则实数a的最大值是 .3 ［f′（x）＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又因为x∈［1，＋∞），所以a≤3，即a的最大值是3.］考点1 不含参数函数的单调性 求函数单调区间的步骤（1）确定函数f（x）的定义域.（2）求f′（x）.（3）在定义域内解不等式f′（x）＞0，得单调递增区间.（4）在定义域内解不等式f′（x）＜0，得单调递减区间. 1.函数f（x）＝1＋x－sinx在（0,2π）上是（ ）A.单调递增B.单调递减C.在（0，π）上增，在（π，2π）上减D.在（0，π
6、）上减，在（π，2π）上增A ［f′（x）＝1－cosx＞0在（0,2π）上恒成立，所以在（0,2π）上单调递增.］2.函数y＝x2－lnx的单调递减区间为（ ）A.（－1,1］ B.（0,1］C.［1，＋∞）D.（0，＋∞）B ［∵y＝x2－lnx，-8-∴x∈（0，＋∞），y′＝x－＝.由y′≤0可解得0＜x≤1，∴y＝x2－lnx的单调递减区间为（0,1］，故选B.］3.已知定义在区间（－π，π）上的函数f（x）＝xsinx＋cosx，则f（x）的单调递增区间是 .和 ［f′（x）＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，令f′（x）＝xcos
7、x＞0，则其在区间（－π，π）上的解集为和，即f（x）的单调递增区间为和.］ 求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错.如T2.考点2 含参数函数的单调性 研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. 已知函数f（x）＝x2－2alnx＋（a－2）x，当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性.［解］ 函数的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝x－＋a－2＝.①当－a＝2，即a＝－2时，f′（x）＝≥0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增.②当0＜－a＜2，即－2＜a＜0时，∵0＜x＜－a或x＞2时，f′（x）＞0；－a＜x＜2时，f′（
8、x）＜0，∴f（x）在（0，－a），（2，＋∞）上单调递增，在（－a,2）上单调递减.③当－a＞2，即a＜－2时，∵0＜x＜2或x＞－a时，f′（x）＞0；2＜x＜－a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0,2），（－a，＋∞）上单调递增，在（2，－a）上单调递减.综上所述，当a＝－2时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当－2＜a＜0时，f（x）在（0，－a），（2，＋∞）上单调递增，在（－a,2）上单调递减；当a＜－2时，f（x）在（0,2），（－a，＋∞）上单调递增，在（2，－a）上单调递减. 含参数的问题，应就参数范围讨论导数大于（
