几何与代数_lec19-线性方程组的最小二乘解.ppt

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1、几何与代数主讲:关秀翠东南大学数学系2010年国家级精品课程教学内容和学时分配第四章n维向量教学内容学时数§4.1n维向量空间2§4.2向量组的线性相关性4§4.3子空间的基和维数2§4.4向量的内积2§4.5线性方程组的解的结构2§4.6线性方程组的最小二乘解1问题式预习1.什么是一个向量在平面上的正投影？2.如何利用正投影求不相容方程组的最佳近似解？3.什么是方阵的特征值和特征向量？思考题ARmn,bRm,判断下列命题是否正确.(1)若Ax=0只有零解,则Ax=b有唯一解.(2)若Ax=0有非零解,则Ax=b有无穷多解.(3)若Ax=b唯一

2、解,则Ax=0只有零解.(4)若Ax=0有非零解,则ATx=0也有非零解.(5)若r(A)=r=m,则Ax=b必有解.(6)若r(A)=r=n,则Ax=b必有唯一解.ARmn,bRm,判断下列命题是否正确.(1)若Ax=0只有零解,则Ax=b有唯一解.答:错,因r(A)=n,r(A)=n=r(A,b)(2)若Ax=0有非零解,则Ax=b有无穷多解.答:错,因r(A)

3、A)=r=m=r(A,b).(6)若r(A)=r=n,则Ax=b必有唯一解.答:错,A为mn,当mn时,可有r(A,b)=n+1.(4)若Ax=0有非零解,则ATx=0也有非零解.答:错,比如：A为mn,r(A)=m

4、=r(A)

5、xRn}b不能由向量组I:1,…,n线性表示r(A)r(A,b)Ax=b无解.bL(1,2,…,n)=R(A)={Ax

6、xRn}第四章n维向量§4.4向量的内积当s=2,1,2线性无关,求2使12,1,2与1,2等价1222,11,11==k12=212,

7、11,1几何:线性方程组近似解的应用——曲线拟合例.已知某铜棒的电阻与温度关系为：实验测得7组数据，试确定参量R0,a使得这7组观测点到该直线的距离最小。第四章n维向量§4.6线性方程组的最小二乘解r(A)r(A,b)Ax=b无解bR(A)={Ax

8、xRn}t/℃19.125.130.136.040.045.150.1Rt/76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10解：即Ax=br(A)r(A,b)Ax=b无解xA例.已知某铜棒的电阻与温度关系为：实验测得7组数据，试确定参量R0,使得这7组观

9、测点到该直线的距离最小。第四章n维向量§4.6线性方程组的最小二乘解t/℃19.125.130.136.040.045.150.1Rt/76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10解：Ax==b无解问题：要找一个近似解y,使得=AyR(A)={Ax

10、xRn},且线性方程组近似解的应用——曲线拟合一.线性方程组无解时的近似解问题：能否找一个近似解y,使得=AyR(A),使得第四章n维向量§4.6线性方程组的最小二乘解b能由向量组I:1,…,n线性表示r(A)=r(A,b)Ax=b有解.bR(A)={Ax

11、

12、xRn}b不能由向量组I:1,…,n线性表示r(A)r(A,b)Ax=b无解.bR(A)={Ax

13、xRn}=b

14、

15、b-

16、

17、=0

18、

19、b-

20、

21、>0二.R3上b的正投影向量第四章n维向量§4.6线性方程组的最小二乘解b不能由向量组I:1,…,n线性表示r(A)r(A,b)Ax=b无解.bR(A)={Ax

22、xRn}

23、

24、b-

25、

26、>0=R(A)bb-b-A32,r(A)=2,R(A)为一平面问题：能否找一个近似解y,使得=AyR(A),使得二.R3上b的正投影向量第四章n维向量§4.6线

27、性方程组的最小二乘解bR(A)={Ax

28、xRn}为b在平面上的正投影向量

29、

30、b-

31、

32、>0=R