洛伦兹模型与混沌.doc

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1、洛伦兹模型与混沌—————《蝴蝶效应》混沌理论：混沌理论（（Chaostheory）是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔（bifurcation）、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。在耗散系统和保守系统中，混沌运动有不同表现，前者有吸引子，后者无（也称含混吸引子）。从20世纪80年代中期到20世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注，引发了全球混沌热。混沌，也写作浑沌（比如《庄子》）。自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展

2、示的一种貌似随机的行为或性态。确定性（deterministic）是指方程不含随机项的系统，也称动力系统（dynamicalsystem）。典型的模型有单峰映象（logisticmap）迭代系统，洛伦兹微分方程系统，若斯叻吸引子，杜芬方程，蔡氏电路，Chen吸引子等。为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱、洛伦兹、上田睆亮（Y.Ueda）、费根堡姆、约克、李天岩、斯美尔、芒德勃罗和郝柏林等。混沌理论向前可追溯到19世纪庞加莱等人对天体力学的研究，他提出了同宿轨道、异宿轨道的概念，他也被称为浑沌学之父。混沌行为可以

3、在许多自然系统中被观测到，例如天气和气候。[1]对于这个行为的研究，可以通过分析混沌数学模型，或者通过诸如递归图和庞加莱映射等分析技术。定义混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。“一切事物的原始状态，都是一堆看似毫不关联的碎片，但是这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体。”混沌一词原指发现宇宙混乱状态的描述,古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在

4、井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家熟知的地心引力、杠杆原理、相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可以化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家爱德华·诺顿·劳仑次（EdwardLorenz）发现简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的“蝴蝶效应”。60年代，美国数学家史蒂芬·斯梅尔（StephenSmale）发现某些物体的行径经过某种规则性

5、变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可循，呈现失序的混沌状态。背景1963年美国气象学家爱德华·劳仑次提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用。应用混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、金融学、哲学、物理学、政治学、人口学、心理学和机器人学。多种系统的浑沌状态在实验室中得到观察，包括电路、激光、流体的动态，以及机

6、械和电磁装置。在自然中进行的有对天气、卫星运动、天体磁场、生态学中的种群增长、神经元中的动作电位和分子振动的观察。浑沌理论最成功的应用之一在于生态学中的雷克动态综合模型，在其中显示了受密度制约之下的种群增长如何引致混沌状态。混沌控制混沌控制由狄透（WilliamDitto）、贾芬卡（AlanGarfinkel）、约克（JimYorke），将此想法化为实用技术，用微小的变化开始，造成希望所想的巨大改变。混沌动力学混沌系统有三种性质：1.受初始状态影响的敏感性，初始条件非常微小的变动也可以导致最终状态的巨大差别。1

7、.具有拓扑混合性；不严格地来说，就是系统会将初始空间的拓扑性质彻底打乱，使得任何初始状态变换到其他任何位置。2.周期轨道稠密，即在任何初始值附近都可以找到具有周期轨道的值。蝴蝶效应产生背景： 在1972年12月29日，美国麻省理工教授、混沌学开创人之一E.N.洛仑兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可确预报性。至此以后，人们对于混沌学研究的兴趣十分浓厚。混沌蝴蝶——洛伦兹吸引子  

8、混沌蝴蝶——洛伦兹吸引子美国气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz，不要和提出洛伦兹变换的那位搞混）是混沌理论的奠基者之一。20世纪50年代末到60年代初，他的主要工作目标是从理论上进行长期天气预报研究。他在使用计算机模拟天气时意外发现，对于天气系统，哪怕初始条件的微小改变也会显著影响运算结果。随后，他在同事工作的基础上化简了自己先前的模型，得到了有3个变量的一阶微分方程组，由它描述的运