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《代数学引论 聂灵沼丁石孙版 第一章习题解答.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第一章代数基本概念1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群.证明:对任意a,b∈G,由结合律我们可得到(ab)2=a(ba)b,a2b2=a(ab)b再由已知条件以及消去律得到ba=ab,由此可见群G为交换群.2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e,则G为交换群.证明:[方法1]对任意a,b∈G,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab因此G为交换群.[方法2]对任意a,b∈G,a2b2=e=(ab)2,由上一题的结论可知G为交换群.3.设G是
2、一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:(1)a(bc)=(ab)c;(2)由ab=ac推出a=c;(3)由ac=bc推出a=b;证明G在该乘法下成一群.证明:[方法1]设G={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若i≠j(I,j=1,2,…,n),有akai≠akaj------------<1>aiak≠ajak------------<2>再由乘法的封闭性可知G={a1,a2,…,an}={aka1,aka2,…,akan}------------<3>G={a1,a2,…,an}={a1ak,a2
3、ak,…,anak}------------<4>由<1>和<3>知对任意at∈G,存在am∈G,使得akam=at.由<2>和<4>知对任意at∈G,存在as∈G,使得asak=at.由下一题的结论可知G在该乘法下成一群.下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。[方法2]18为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可.为了叙述方便可设G={a1,a2,…,an}.(Ⅰ)证明G内存在幺元.<1>存在at∈G，使得a1at=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明);<2>证
4、明a1at=ata1;因为a1(ata1)at=(a1at)(a1at)=(a1)2a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)=(a1)2,故此a1(ata1)at=a1(a1at)at.由条件(1),(2)可得到a1at=ata1.<3>证明at就是G的幺元;对任意ak∈G,a1(atak)=(a1at)ak=a1ak由条件(2)可知atak=ak.类似可证akat=ak.因此at就是G的幺元.(Ⅱ)证明G内任意元素都可逆；上面我们已经证明G内存在幺元，可以记幺元为e，为了方便可用a,b,c,…等符号记G内元素.下面证明任意a∈G，
5、存在b∈G，使得ab=ba=e.<1>对任意a∈G，存在b∈G，使得ab=e;(这一点很容易证明这里略过.)<2>证明ba=ab=e;因为a(ab)b=aeb=ab=ea(ba)b=(ab)(ab)=ee=e再由条件(2),(3)知ba=ab.因此G内任意元素都可逆.由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1)可知G在该乘法下成一群.1.设G是非空集合并在G内定义一个乘法ab.证明:如果乘法满足结合律,并且对于任一对元素a,b∈G,下列方程ax=b和ya=b分别在G内恒有解，则G在该乘法下成一群.证明：取一元a∈G,因xa=a在G内有解,记一个解为ea,下面证明e
6、a为G内的左幺元.对任意b∈G,ax=b在G内有解,记一个解为c,那么有ac=b,所以18eab=ea(ac)=(eaa)c=ac=b,因此ea为G内的左幺元.再者对任意d∈G,xd=ea在G内有解,即G内任意元素对ea存在左逆元,又因乘法满足结合律,故此G在该乘法下成一群.[总结]群有几种等价的定义:(1)幺半群的每一个元素都可逆，则称该半群为群.(2)设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律,并且G内包含幺元,G内任意元素都有逆元,则称G为该运算下的群.(3)设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律,并且G内
7、包含左幺元,G内任意元素对左幺元都有左逆元,则称G为该运算下的群.(4)设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律,并且对于任一对元素a,b∈G,下列方程ax=b和ya=b分别在G内恒有解，则称G为该运算下的群.值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律,则该半群一定是群.1.在S3中找出两个元素x,y,适合(xy)2≠x2y2.[思路]在一个群G中，x,y∈G,xy=yx⇔(xy)2=x2y2(这一点很容易证明).因此只要找到S3中两个不可交换的元素即可.我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素.解:取x=123213,y=12
8、3132那么(xy)2=123312≠123123=x2y2.[注意]我们可以通过mathematica软件编写Sn的群表
