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时间:2020-03-05
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1、BriefSummaryofChapter1微观粒子波动性--粒子运动在空间出现的几率分布呈现波的特征--几率波!简单体系:i维势箱量子力学的统计学本质量子力学体系的状态函数--波函数(r,t)波粒二象性p=h/能量量子化测不准原理:xporEtħ1.几率密度分布函数
2、
3、22.正交归一性:i*jd=ij(i=j,ij=1;ij,ij=0)3.本征函数/方程:Â=a4.Schrödinger方程:Ĥ(r)=E(r)5.态叠加原理:=cii,Âi=Aii求平均值:=*Âd/*d=ci2Ai/ci2数理基础(微积分
4、)需要复习算符运算的理解欠佳势箱模型:1)量子态(能级)的理解欠佳;2)未掌握多电子体系电子排布的能量最低原则。第一章作业情况总结:1.4某同步加速器,可把质子加速至具有100×109ev的动能,此时质子的速率是多大?易出现错误:直接使用E=mv2/2计算速率,超光速,必须考虑相对论效应。1.9用测不准原理说明普通光学光栅(间隙约10-6m)观察不到10000V电压加速的电子衍射。(1eV=1.602x10-19J)显然,光学光栅的宽度要远大于电子的德布罗意波长,观察不到电子衍射。关键点:1)能级表达式中有三个量子数,如何排序?2)多电子体系基态电子占据的能量最低原则。1.271)当
5、粒子处在三维立方势箱中(a=b6、立粒子模型下满足单粒子本征方程:,其中1的轨道能量为1,后三个轨道简并,能量均为2(2>1);根据态叠加原理,将这四个正则分子轨道线性组合,即得四个定域分子轨道(LMO)分别描述四个等价的C-H键:试证明这四个定域分子轨道的能量完全相同,并确定其能量。涉及要点:1)本征函数的正交归一性;2)本征方程的使用;3)态叠加原理;4)求平均值方法。解:四个CMO的波函数是单粒子本征方程的本征函数,均满足正交归一性:对任一LMO,可表示为:均有其能量可由求平均值方法导出:由于四个LMO表达式中各CMO的组合系数为+1或-1,因此,四个LMO的能量相等,均为:若环丁二烯为正方形,C-C7、键长为a,运用势箱模型处理该体系,若采用定域双键模型,其电子总能量多大?若采用离域大键模型,其离域电子总能量多大?利用(1)的结果推算该体系的离域能若采用离域大键模型,求出该分子的基态到第一激发态的光谱波长表达式。若采用定域双键模型,每个键中的2个电子均被限制在长度为a的一维势箱中,则每个电子的能量可表示为:4个定域电子的总能量:若采用离域模型,则四个离域于边长为a的二维方势箱中,电子的能级公式为:则能量最低的三个能级分别为:则离域电子总能量为:E2E1E3(2)离域能:(3)离域体系中,基态到第一激发态的电子跃迁可发生于第一到第二能级,也可发生于第二至第三能级(此处8、为巧合!),激发能均为:故对应的吸收光波长为:思考题:原子中的核外电子受到核的静电束缚,一般被限在在距离原子核<2埃的范围内围绕原子核运动,电子是否具有波动性?如果有,如何理解其波动性?以氢原子基态为例,已知1s轨道的平均半径为0.528埃,试由此估算1s电子的能量和deBroglie波长。(静电力常量k=-9×109N·m/C2,电子电荷量e=1.6×10-19C,普朗克常量h=6.63×10-34J·s,真空中光速c=3.00×108m/s)答:围绕原子核高速运动的电子当然具有波动性,其波动性表现在空间出现的几率分布呈现出波动特征,即几率波,因而其运动状态可由波函数描述。对氢原子9、基态而言,其1s轨道上电子所受向心力为静电力,需满足:r为轨道平均半径,Z=1.又其动能T=meve2/2,势能V=-kZe2/r则有V=-2TorT=-V/2(即维里定理!)则有:E=T+V=V/2=-kZe2/2r=…=-13.6eV又有p2=2meT=-meV=mekZe2/r可见,氢原子1s轨道上电子的deBroglie波长与其被核束缚的运动范围尺度相当,当然会呈现极强的波动性。(如果利用第二章的结论可以直接确定1s轨道上电子能量为:再由上述的关系
6、立粒子模型下满足单粒子本征方程:,其中1的轨道能量为1,后三个轨道简并,能量均为2(2>1);根据态叠加原理,将这四个正则分子轨道线性组合,即得四个定域分子轨道(LMO)分别描述四个等价的C-H键:试证明这四个定域分子轨道的能量完全相同,并确定其能量。涉及要点:1)本征函数的正交归一性;2)本征方程的使用;3)态叠加原理;4)求平均值方法。解:四个CMO的波函数是单粒子本征方程的本征函数,均满足正交归一性:对任一LMO,可表示为:均有其能量可由求平均值方法导出:由于四个LMO表达式中各CMO的组合系数为+1或-1,因此,四个LMO的能量相等,均为:若环丁二烯为正方形,C-C
7、键长为a,运用势箱模型处理该体系,若采用定域双键模型,其电子总能量多大?若采用离域大键模型,其离域电子总能量多大?利用(1)的结果推算该体系的离域能若采用离域大键模型,求出该分子的基态到第一激发态的光谱波长表达式。若采用定域双键模型,每个键中的2个电子均被限制在长度为a的一维势箱中,则每个电子的能量可表示为:4个定域电子的总能量:若采用离域模型,则四个离域于边长为a的二维方势箱中,电子的能级公式为:则能量最低的三个能级分别为:则离域电子总能量为:E2E1E3(2)离域能:(3)离域体系中,基态到第一激发态的电子跃迁可发生于第一到第二能级,也可发生于第二至第三能级(此处
8、为巧合!),激发能均为:故对应的吸收光波长为:思考题:原子中的核外电子受到核的静电束缚,一般被限在在距离原子核<2埃的范围内围绕原子核运动,电子是否具有波动性?如果有,如何理解其波动性?以氢原子基态为例,已知1s轨道的平均半径为0.528埃,试由此估算1s电子的能量和deBroglie波长。(静电力常量k=-9×109N·m/C2,电子电荷量e=1.6×10-19C,普朗克常量h=6.63×10-34J·s,真空中光速c=3.00×108m/s)答:围绕原子核高速运动的电子当然具有波动性,其波动性表现在空间出现的几率分布呈现出波动特征,即几率波,因而其运动状态可由波函数描述。对氢原子
9、基态而言,其1s轨道上电子所受向心力为静电力,需满足:r为轨道平均半径,Z=1.又其动能T=meve2/2,势能V=-kZe2/r则有V=-2TorT=-V/2(即维里定理!)则有:E=T+V=V/2=-kZe2/2r=…=-13.6eV又有p2=2meT=-meV=mekZe2/r可见,氢原子1s轨道上电子的deBroglie波长与其被核束缚的运动范围尺度相当,当然会呈现极强的波动性。(如果利用第二章的结论可以直接确定1s轨道上电子能量为:再由上述的关系
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