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1、§3一元线性回归返回目录变量之间的关系大致有两种:1.函数关系:确定性关系2.相关关系：非确定性关系社会经济领域中,投入与产出;价格与需求的关系等.例如:人的身高与体重;人的年龄与血压;(一)一元线性回归x:普通变量,Y:随机变量,对Y独立观察得到当x取定一组不完全相同的值对应的样本值用样本来估计Y关于x的回归函数μ(x).例1为研究某化学反应过程中,温度x(℃)对产品得率Y(%)的影响,测得数据如下：x(℃)100110120130140150160170180190Y(%)45515461667074788589散点图称为一元线性回归模型,b称为回归
2、系数.其中未知参数a,b和都不依赖于x,一元线性回归假设对x的每一个值有Y有两部分组成:x的线性函数随机误差记(二)a,b的估计作独立试验,得到样本当x取一组不全相同的值相互独立,相互独立,它们的联合密度是用最大似然估计法估计a,b.L最大,只需下式最小,正规方程组:系数行列式∴有唯一解,回归函数的估计称为Y关于x的经验回归方程,简称回归方程,其图形称为回归直线.例2例1中为研究某化学反应过程中,温度x(℃)对产品得率Y(%)的影响,测得数据如下：x(℃)100110120130140150160170180190Y(%)4551546166707478
3、8589计算回归直线方程:或(三)σ2的估计记称为处的残差.残差平方和是与处的观察值的偏差的平方和.Qe的分解：Qe的一个分解式:σ2的无偏估计量:记可证明:例3求例2中σ2的无偏估计.(四)线性假设的显著性检验提出假设可以证明,与Qe独立,当H0为真时,拒绝域:例4检验例2中的回归效果是否显著,α=0.05拒绝认为回归效果是显著的.*(五)系数b的置信区间b的置信水平为1-α的置信区间为=(0.45894,0.50712)例2中b的置信水平为0.95的置信区间为*(六)回归函数μ(x)=a+bx函数值的点估计和置信区间点估计：相应的估计量:可以证明,与
4、独立,置信水平为1-α的置信区间或(七)Y的观察值的点预测和预测区间点预测：相互独立,Y0的置信水平为1-α的预测区间1*该区间以为中心,长度为是x0的函数;或2*在处区间长度最短,x0越远离,则长度就越长,随n的增加,长度缩短;3*置信区间的上限与下限的曲线对称地落在回归直线的两侧,成喇叭型.例5例2中(1)*求回归函数μ(x)在x=125处的值μ(125)的置信水平为0.95的置信区间,求在x=125处Y的新观察值Y0置信水平为0.95的预测区间;(2)求在x=x0处Y的新观察值Y0置信水平为0.95的预测区间;=57.64=0.84回归函数μ(x)
5、在x=125处的值μ(125)的置信水平为0.95的置信区间为(57.64±0.84)=(56.80,58.48)在x=125处得率Y0的置信水平为0.95的预测区间(57.64±2.34)=(55.3059.98)(2)求在x=x0处得率Y0的置信水平为0.95的预测区间:=2.34(八)可化为一元线性回归的例子变量之间的相关关系在实际中往往不一定是线性的，直接求解回归曲线往往比较困难,对一些特殊类型，可通过适当的变量替换化为线性回归问题来处理.通常需要用回归曲线来描述.常见的曲线方程及其图形如下：1.双曲线型原方程：变换方法：变换后方程：2.指数曲线
6、型（之一）原方程：变换方法：变换后方程：原方程：变换方法：变换后方程：（之二）3.幂函数型原方程：变换方法：变换后方程：4.对数曲线型原方程：变换方法：变换后方程：5.S曲线型原方程：变换方法：变换后方程：例6:为了解百货商店销售额x与流通费率(这是反映商业活动的一个质量指标,指每元商品流转额所分摊的流通费用)y之间的关系,收集了九个商店的有关数据见下表：i销售额（x:万元）流通费率（y:%）11.57.124.54.837.53.6410.53.1513.52.7616.52.5719.52.4822.52.3925.52.2解：(1)x与y的散点图：
7、观察上述散点图可以发现,这九个点大致在一条曲线附近,因而宜用曲线去拟合这批数据,即建立回归曲线方程.回归曲线的形式确定,应尽可能地采用专业知识,此外也可以与典型的函数图象对照使用.此时可能有多种选择方案,对本例来讲可选用(2)确定回归曲线类型(3)对原始数据作相应的变量替换，变换后的数据列表11.57.00.40551.94597.16650.166524.54.81.50411.56864.48850.311537.53.62.01491.28093.61090.0109410.53.12.35141.13143.12880.0228513.52.72
8、.60270.99332.81120.1112616.52.52.80340.9
