最小二乘法在回归分析和趋势预测中的应用.doc

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1、最小二乘法在回归分析和趋势预测中的应用最小平方法，又称最小二乘法。其方法的计算依据是利用算术平均数的数学性质，在我们介绍算术平均数的数学性质时，有两条性质分别是：一、备个变量值与平均数的离差Z和等于零，用表达式表示即工（尢一兀）=°；二、各个变量值与平均数的离差平方z和为最小值，用表达式表示为工（X-X）2=最小值。这两条数学性质已证明过，我们把它们应用到冋归分析和趋势预测屮來。冋归分析和时间序列趋势预测屮，主要是为求得冋归方程或趋势方程，但在求得方程的参数时，就要用到上面的两条数学性质。最小平方法的数学依据是实际值（观察值）与理论值（趋势值）的离羌平方和为最小。据此来拟合冋归方程或

2、趋势方程。1、利用最小平方法拟合直线回归方程拟合盲线冋归方程的主要问题就在于佔计待定参数。和方Z值，而用最小平方法求出的冋归育线是原有资料的“最佳”拟合肓线。假设育线冋归方程为：儿二d+其中。是直线的截距，方是岚线的斜率，称回归系数。a和〃都是待定参数。将给定的自变量兀之值代入上述方程屮，可求出佔计的因变量vz值。这个估计值不是一个确定的数值，而是y许多可能取值的平均数，所以用儿表示。当*取某一个值时，有多个可能值。因此，将给定的兀值代入方程后得出的儿值，只能看作是一种平均数或期望值。配合直线方程的具体方法如下：o儿）2二最小值⑴用肓线方程儿处代入式⑴得：Q=^（y-a-bx）2=最

3、小值⑵分别求Q关于Q和Q关于b的偏导，并令它们等于0：^=Y2（v-a_/?兀）（一1）=0整理麻得出由下列两个方稈式所组成的标准方稈组:根据已知的或样本的相应资料X、值代入式（3）,可求出。和〃两个参数:“Dy-工,7E%2-(Ex)2Z.v工兀只要把Q和h两个参数代入儿，就可得到直线冋归方程儿=ci+bxo并根据此方程在自变量给定的条件下估计因变最的平均可能值。这里要说明的是冋归系数〃的含义，它表明自变最每增加（或减少）一个单位，因变最将平均增加（或减少）〃个单位。上述标准方程纽也可从另外的角度理解和获得:根据平均数的数学性质一（开头提到的），工°一儿）=°。用儿=a+bx代入。

4、可得：^(y-a-hx)=O敕理示得：=na+然后，在式（5）等式两边同时乘以X,乂可得:工可'=0工兀+返F⑹联列式⑸和式⑹,即能得到解直线回归方程参数的标准方程组:和式（3）—样再解。和b两个参数，求得直线冋归方程。此方法也可推广到求解非直线

5、叫归方程。譬如二次曲线冋归方程，儿+"兀+cF。其屮有三个待定系数，要设立三个方程求解。用上述同样的思维，能得到如下的标准方程纟R：工y=na+b>x+c工x2:工厂二。工x+“工x2+c工疋工x?y=q工x2+b工x3+c》x4这样也能求解Q、b、c三个参数。在冋归分析屮，采用冋归估计标准误这一指标来衡量样木观测值V对冋归肓线的离散程度。

6、冋归估计标准误，又称估计标准课差,它是衡量冋归估计精确度高低或冋归方程代表性大小的统计分析指标，用Sy.”表示。越大，表示冋归估计结果越不精确，冋归育线方程的代表性越差；反乙恰好相反。回归估计标准误的计算公式如下：2、利用最小平方法拟合直线趋势方程在时间序列分析屮，我们也常常利用最小平方法拟合肓线趋势方稈，直线趋势方程与肓线冋归方程基木原理相同，只是肓线冋归方稈屮的H变量被时间变量［所取代，方程屮的两个待定系数也用同样的方法求得。如果时间数列的一级增长量(即坏比增长量)大致相等，则可拟合直线趋势方程。设盲线趋势方程为：兀=°+加。如上面介绍方法可得岀求解a和h两个参数的标准方程组：J

7、工y二〃。+bt解方程组同样能得：,?EC~(Zr)2a=y-bt肓线趋势方程兀=°+如屮，/是时间序数，往往间隔相等且连续。为了简化计算过程,直线趋势方程还可以采用简捷法的计算形式，求解参数。简捷法求解直线趋势方稈，前提是设工2°,这要用坐标移位的方法。将工‘代入式(9),其结果就简化为：b=^—a=72(10)用式(10)求解d和方两个参数肯定会方便不少，但这里有两个假设要注意：其一,工2°;其二，f的间隔相等。具体操作屮/的设定为，当时间数列为奇数项时，取中间一项(原点)为0,原点以前的时期分别设为・1,-2,-3,…，原点之后各期设为1,2,3,…;当时间数列为偶数项时，原

8、点就在中间两项的中点，此时可取屮间两项分别为-1,1,往上、往下方向分别依次为-1,-3,-5,…和1,3,5,…等等。简捷法的计算形式为大家在趋势预测屮简化了计算过程，但实际应川屮也经常会出错,其原因：首先，可能是/的设定条件没有满足。其次，用简捷法计算出的趋劳方程与用标准方程纟R计算出的方程往往是不一致的，在『的新设定条件下，参数肯定发生了变化，不要为此产生混淆，但预测出的结果应该是一样的。最示，要提酮注意的是，用简捷法得到的趋势方程用来预测结果时，一