最小二乘法在回归分析和趋势预测中的应用(页)

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1、最小二乘法在回归分析和趋势预测中的应用最小平方法，乂称最小二乘法。其方法的计算依据是利用算术平均数的数学性质，在我们介绍算术平均数的数学性质时，有两条性质分别是：一、各个变量值与平均数的离差Z和等于零，用表达式表示即工（兀一兀）二0；二、各个变量值与平均数的离差平方z和为最小值，用表达式表示为S（x_x）2=最小值。这两条数学性质己证明过，我们把它们应用到回归分析和趋势预测屮來。回归分析和时间序列趋势预测中，主要是为求得回归方程或趋势方程，但在求得方程的参数时，就要用到上而的两条数学性质。最小平方法的数学依据

2、是实际值（观察值）与理论值（趋势值）的离差平方和为最小。据此來拟合回归方程或趋势方程。1、利用最小平方法拟合直线回归方程拟合直线回归方程的主要问题就在于估计待定参数。和bz值，而川授小平方法求出的回归直线是原有资料的“最佳”拟合直线。假设直线回归方程为：儿=°+"兀，其中Q是直线的截距，b是直线的斜率，称回归系数。Q和b都是待定参数。将给定的自变量XZ值代入上述方程中，可求出估计的因变量值。这个估计值不是一个确定的数值，而是）'许多町能取值的平均数，所以用儿表示。当x取某一个值时，有多个可能值。因此，将给定的

3、兀值代入方程后得出的儿值，只能看作是一种平均数或期望值。配合直线方程的具体方法如下：Q-儿），=最小值⑴用直线方程儿m+bx代入式⑴得：Q=^（y-^-bx）2=最小值⑵分别求Q关于。和Q关于b的偏导，并令它们等于0：整理后得出山下列两个方程式所组成的标准方程组:根据已知的或样木的相应资料X、值代入式（3）,可求出。和b两个参数:nn（4）只耍把Q和b两个参数代入儿，就可得到直线回归方程儿二d+/zr。并根据此方程在自变量给定的条件下估计因变量的平均可能值。这里要说明的是回归系数b的含义，它表明自变量每增加（

4、或减少）一个单位，因变量将平均增加（或减少）〃个单位。上述标准方程组也口J从另外的角度理解和获得：根据平均数的数学性质一（开头提到的），工°一儿）=0o用儿M+加代入。可得：工（y-d-加）=0整理后得：(5)=na+然后，在式（5）等式两边同时乘以兀，乂可得:工兀y=a工兀+/?工，⑹联列式⑸和式（6）,即能得到解直线回归方程参数的标准方程组:y^y=na+b^x和式（3）-样再解d和b两个参数，求得直线回归方程。此方法也nJ推广到求解非直线回归方程。譬如二次曲线回归方程，儿=a+hx+cx其中有三个待定

5、系数，要设立三个方程求解。用上述同样的思维，能得到如下的标准方程组:工丁=na+b^x+c^x2＜工卩=°0+返兀2+C°3工兀2y=a^x2+/?工+C工*这样也能求解Q、b、c三个参数。在冋归分析屮，采用冋归估计标准误这一指标来衡量样木观测值歹对回归直线的离散程度。回归估计标准误，又称估计标准误差，它是衡量回归估计精确度高低或回归方程代表性大小的统计分析指标，用s和表示。越大，表示回归估计结果越不精确，回归直线方程的代表性越差；反z,恰好相反。回归估计标准误的计算公式如下：S=Z_V⑻2、利用最小平方法拟

6、合直线趋势方程在时间序列分析屮，我们也常常利用最小平方法拟合肯线趋势方程，肓线趋势方程与肓线冋归方程基木原理相同，只是胃线回归方程屮的自变量被时间变量/所取代，方程中的两个待定系数也用同样的方法求得。如果时间数列的一级增长量（即环比增长量）大致相等，则町拟合直线趋势方程。设直线趋势方程为：儿二°+句。如上面介绍方法可得出求解a和b两个参数的标准方程组：jy=na+b工t解方程组同样能得：一吃〜(》)2a=y-bt直线趋势方程儿=a+bt中，/是时间序数，往往间隔相等且连续。为了简化计算过程,直线趋势方程还可以

7、采用简捷法的计算形式，求解参数。简捷法求解直线趋势方程，前提是设工2°,这要用处标移位的方法。将工2°代入式（9）,其结果就简化为:(10)用式（10）求解d和b两个参数肯定会方便不少，但这里冇两个假设要注意：其一,工其二，/的间隔相等。具体操作中f的设定为，当时间数列为奇数项时，収中间一项（原点）为0，原点以前的时期分别设为・1,・2,・3,…，原点之后各期设为1,2,3,…;当时间数列为偶数项时，原点就在屮间两项的屮点，此时可取屮间两项分别为・1,1,往上、往下方向分别依次为-1,-3,-5,…和1,3,

8、5,…等等。简捷法的计算形式为大家在趋势预测中简化了计算过程，但实际应用中也经常会出错,其原因：首先，可能是『的设定条件没有满足。其次，用简捷法计算出的趋势方程与用标准方程组计算出的方程往往是不一致的，在（的新设定条件下，参数肯定发生了变化，不耍为此产生混淆，但预测出的结果应该是一样的。最后，要提醍注意的是，用简捷法得到的趋势方程用来预测结果时，一定要用/的新设定序号代入方程，否则也会得出错误结果。