历年名牌大学自主招生数学考试题与答案.doc

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1、.上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题5分，共50分）1．设函数满足，则．2．设均为实数，且，则．3．设且，则方程的解的个数为．4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为．5．．6．设不等式与的解集分别为M和N．若，则k的最小值为．7．设函数，则．8．设，且函数的最大值为，则．9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为．10．已知函数，对于，定义，若，则．二、计算与证明题（每小题10分，共50分）....11．工件内圆弧半径测量问题．为测量一工件

2、的内圆弧半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度，试写出用表示的函数关系式，并计算当时，的值．12．设函数，试讨论的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在内的图像．13．已知线段长度为，两端均在抛物线上，试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标．....参考答案：1.2.3.24.5.6.27.8.9.10.11.，12.；偶函数；；；周期为13.；14.略；反证法15.2；3；2008年交大冬令营数学试题参考答案2008.1.1一．填空题1．若，，则．22．函数的最大值为_________

3、_．3．等差数列中，，则前项和取最大值时，的值为__________．204．复数,若存在负数使得，则．5．若，则．....6．数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和．7．……中的系数为．39212258．数列中，，，，，，，，，，此数列的通项公式为．9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为．10．若曲线与的图像有3个交点，则．二．解答题1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为；把每行最高的人选出，这些

4、人中最矮的设为．（１）是否有可能比高？（２）和是否可能相等？1．解：不可能①若为同一人，有；②若在同一行、列，则均有；....①若不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记所在列与所在行相交的人为。因为为列最矮的人，所以有；又因为为列最高的人，所以有；于是有。综上，不可能有有可能，不妨令30个人身高由矮至高分别为，如图2所示：此时有．3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级．（１）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；乙专家

5、预测：中国队至少得11分才能确保出线．问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？（２）若不考虑中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？解：乙专家....若中国队得10分，则可能出现其余三队12分、10分、10分的情况，以澳大利亚12分，，卡塔尔10分，伊拉克3分为例，得分情况如下表。中国队无法确保晋级，因此甲专家说的不对。澳澳中中卡卡伊伊总分澳30303312中03130310卡03103310伊0030003假设中国队得了11分而无法晋级，则必为第三名，而第一名、第二名均不少于11分，而第四名不少于3分。12场比赛四队总得分至多36分，所以前三名11分，第四名3分。而四队总分36分时不能出现一场

6、平局，而11不是3的倍数，故出线平局，矛盾！所以中国队得11分可以确保出线。若中国队得12分，则可能出线如表情况，仍无法确保晋级。澳澳中中卡卡伊伊总分澳30303312中03033312卡03303312伊0000000假设中国队得13分仍无法出线，则必为第3名，则第一名、第二名均不少于13分，总得分已经不少于39分大于36分，矛盾！故中国队至少得13分才可以确保出线。....4．通信工程中常用n元数组表示信息，其中或1，．设，，表示和中相对应的元素不同的个数．（１）问存在多少个5元数组使得；（２）问存在多少个5元数组使得；（３）令，，，求证：．解：5；；记中对应项同时为0的项的个数为，对

7、应项同时为1的项的个数为，则对应项一个为1，一个为0的项的个数为；．即是中1的个数，即是中1的个数，是中对应项一个为1，一个为0的项的个数。于是有中1一共有个，即所以有于是．5．曲线与圆交于两点，线段的中点在上，求．解：设，，联立与，得：．....知，；且．得．又．所以解得或（舍）．2011年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生数学试题一、选择题,1.已知向量为非零向量,则夹角为()A.B.C.D.2.已知则()A.B.C