市场调查与预测 樊智勇第十章.ppt

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1、第十章马尔科夫预测法第十章马尔科夫预测法第一节马尔科夫预测法的基本原理第二节马尔科夫预测法的应用本章小结复习思考题实验与培训开篇案例首都出租汽车公司的管理难题首都出租汽车公司在北京国际机场、颐和园和北京饭店设有出租汽车站。经调查，顾客在三个地方租还车的转移概率如下表所示，公司将选一处附设汽车维修点，那么该公司将汽车维修点设在何出最好？还车点转移出租点概率北京饭店颐和园国际机场北京饭店颐和园国际机场0.60.20.50.100.20.30.80.3第一节马尔科夫预测法的基本原理第一节马尔科夫预测法的基本原理一、马尔科夫预测法的概念和适用范围二、随机过程与马尔科夫链三、状态转移概率四、状

2、态转移概率矩阵五、稳态概率矩阵一、马尔科夫预测法的概念和适用范围马尔科夫预测法是应用概率论中马尔科夫链的理论和方法来分析研究有关经济现象变化规律并借此预测未来状况的一种预测方法。马尔可夫预测法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。适用于：产品的市场占有率预测期望利润预测人力资源预测分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考二、随机过程与马尔科夫链在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类：确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的；或者说，对给定的时间，人们事先能确切地知道事物变化的结果。非确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定

3、哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。这样的变化过程称为随机过程。在现实世界中，大量事物的变化过程都是随机过程。马尔可夫链俄国数学家马尔科夫在研究中发现，有一类随机过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。即：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。具备这个性质的随机过程，称为马尔可夫链。由于系统状态的变化是随机的，因此，必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。三、状态转移概率概率论中的条件概率P(B∣A)就表达了由状态A转向状态B的概率，简称为状态转移概率。例假设抽屉里有10个乒乓球，其中有

4、3个红球，现做不放回随机抽样，问第一次取到红色球的条件下，第二次仍然取到红色球的概率是多少？假定第一次取到红色球为事件A，第二次取到红色球为事件B，则可知，第一次取到红色球的概率P(A)=3/10；第一次取到红球后作不放回抽样，抽屉里剩下9个乒乓球，其中有2个红色球，所以，第二次取到红色球的概率为P(B)=2/9。我们把在A事件已发生的条件下求B事件发生的概率称为在事件A出现的情况下事件B出现的条件概率。记为P(B∣A)。对于由状态Ei转移到状态Ej的概率，我们称之为从i到j的转移概率。记为：状态转移概率的特征在一定的条件下，系统只能处在状态E1,E2,…EN这n个状态中，而且每次只

5、能处在一个状态中，那么每一个状态都有n个转向（包括转向自身）。则第i种状态的转移概率，总共有n个转移概率：四、状态转移概率矩阵如果把Pij作为矩阵的第i行，那么n个状态共有n行，其构成的矩阵：称之为一步状态转移概率矩阵，也就是把状态转移用数阵的形式表示出来，这样以来就可把矩阵的知识用于市场调查与预测。若系统在某时刻经过了k步转移，就有了k步状态转移概率，写成矩阵形式就是K步状态转移概率矩阵。对k≥1，记称Pij(k)为k步状态转移概率，P(k)为k步状态转移概率矩阵。特别，当k=1时，Pij(1)为1步状态转移概率。马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由1步状态转移概率求出。用矩阵表

6、示，即为P(k)=P(k-1)P，P(k)=Pk，k≥1五、稳态概率矩阵在马尔可夫链中，已知系统的初始状态和状态转移概率矩阵，就可推断出系统在任意时刻可能所处的状态。现在需要研究当k不断增大时，P(k)的变化趋势。若存在非零概率向量X=(x1,x2,…,xN)，使得XP=X，其中P为一概率矩阵，则称X为P的固定概率向量。特别，设X=(x1,x2,…,xN)为一状态概率向量，P为状态转移概率矩阵。若XP=X,即，则称X为马尔可夫链的一个平稳分布。若随机过程某时刻的状态概率向量P(k)为平稳分布，则称过程处于平衡状态。一旦过程处于平衡状态，则过程经过一步或多步状态转移之后，其状态概率分布

7、保持不变，也就是说，过程一旦处于平衡状态后将永远处于平衡状态。对于我们所讨论的状态有限（即N个状态）的马尔可夫链，平稳分布必定存在。特别地，当状态转移矩阵为正规概率矩阵时，平稳分布唯一。此时，求解方程XP=X，即可得到系统的平稳分布。第二节马尔科夫预测法的应用第二节马尔科夫预测法的应用一、马尔科夫链预测法的实施步骤三、马尔科夫预测法在期望利润预测中的应用二、马尔科夫预测法在市场占有率预测中的应用举例一、马尔科夫链预测法的实施步骤划分预测对象所出现的状态计算