SCM於Timoshenko梁应用分析研究.doc

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1、國立台灣大學土木工程學研究所民國92年（碩士）學位論文摘要應用SCM於Timoshenko梁之分析研究研究生：楊耀昇指導教授：吳賴雲第一章緒論對大多數工程技術問題，由於物體幾何形狀較複雜或問題的某些特徵非線性，故少有解析解。解決此類問題常有兩種途徑：一是引入簡化假設，將方程和邊界條件簡化為可處理的問題，從而得其在簡化狀態下之解答。此種方法僅在有限的情況下可行，此乃因過多簡化將可能導致不正確、甚至是錯誤之解答。另一種方法為數值方法。目前要紧以有限元素法(FEM)及有限差分法(FDM)最為廣泛使用。

2、上述兩種數值方法乃以臨近的幾個點來描繪某一個特定點的力學特性，因此數值耦合限於局部性。若用此兩種數值分析技巧來求解結構物問題較精確的數值解時，便須利用較多的網格點來離散並分析。在本文中，吾人試以另一種數值分析方法(SCM)，可採較少之網格分割點來近似分析，使電子計算機的數值運算量減少，降低因運算而累積的數值誤差量，並能迅速地獲得令人滿意的分析結果。本文研究目的，嘗試以SCM與SCEM直接法模擬Timoshenko梁問題之數值模式，以求解有關Timoshenko梁之分析問題。第二章SCM之基礎理論

3、介紹9/9SCM是一種數值上的近似方法，其要紧概念是以座標上的許多網格分割點(CollocationPoints)，透過彼此間相連結，來造出一個近似函數，以逼近模擬吾人所欲求之實際函數。於SCM中，其近似函數是以多項式的形式疊加：其中，為未定係數，隨不同的外加條件而不同；即為Splinefunction。可有多種選擇，從一階、二階、、一直到任意的m階皆無不可，其中三階稱為CubicSpline、五階又稱為QuinticSpline。之選擇與其所對應之微分方程式有關，即不同微分方程視其階數及相應之

4、邊界或外加條件，應該選擇不同的來求解，本文中所討論Timoshenko梁問題之操纵方程均為二次微分操纵方程式，故挑選3-rd的Splinefunction(CubicBSpline)應為合理適當之選擇。在推導之過程中，需利用ForwardDifference的原始式來進行。經推導得QuinticBSplinefunction及CubicBSplinefunction如下：1.QuinticBSplinefunction：2.CubicBSplinefunction：雖已求得BSplinefunc

5、tion9/9，但在應用上仍嫌繁複而不甚方便，為了便於使用，於是吾人試著整理這些鄰近結點的BSplineValue，而製作出一份完整BSplineValue的表格。012666261000000000000141000000在SCM中，對於載重的模擬，採用的方式是對載重做線性內插，以模擬集中載重及非線性的載重形式。a.當集中載重作用於結點上，此時均佈力大小應等於Q，因此此時。9/9b.當集中載重作用於結點間。SCM對於分佈載重能够模擬相鄰結點間的線性分佈載重，而非線性在結點取得較多的情形之下，也

6、能专门近似的模擬。第三章SCEM之基礎理論介紹對處理大部份載重及不同邊界條件而言，SCM是一相當有效率而精確的方法，然而當計算如多跨結構、結構為變斷面或必須以模擬載重來分析等導致吾人模擬之SCM曲線不再是一連續平滑的曲線時，不僅初始誤差增大，收斂的效率亦大幅降低。考慮結構以元素的型態表示，將各元素離散為SCM的結點及元素，再使用各相鄰元素間之連續條件來連結各元素，此模擬方式稱為SCEM。在使用SCEM分析時，除了原先之結點操纵方程式及邊界條件外，於結構的各元素間亦增加了數個虛結點而必須再增加數個

7、操纵方程式。故利用元素間之連續條件來連結各元素而分析。SCEM將結構以元素型態離散多個結點(以n來表示每個元素塊離散n個結點)，即為對每個元素內之①相關結點操纵方程式、②元素間相互連接之諧和條件式以及③邊界條件式，以SCM理論進行數值近似的表示離散化。再將各個元素已離散化之操纵方程式、元素間連接的諧和條件式以及邊界條件式組合，便可得到一整體的線性代數系統，經運算後，即可求得吾人欲求之未知待定係數。SCEM之求解步驟如下：1.首先求得欲分析結構物之操纵方程式及邊界條件中所有的導函數或偏導函數。9/

8、92.由操纵方程式來決定Splinefunction。3.視所分析之情況，將結構物分割成有限個元素(N)。4.將結構物的各個元素塊分別離散為n個節塊，並將SCM近似函數代入各個離散結點之操纵方程式，以導出近似操纵方程系統。5.加入元素與元素間連接之諧和條件，即元素間之內力平衡及變形諧和等內部邊界連接條件。6.代入離散化之邊界條件、元素連續條件，加上已離散化之結點操纵方程式，得到離散化操纵方程組。7.化成矩陣型式，用一般求解多元一次聯立方程式之數值計算方法求解待定係數矩陣。或根據各種不同之問題需求