信号与系统教案第3章.ppt

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1、离散时间系统？激励与响应都是离散时间信号的系统离散时间系统的优点精度高可靠性好功能灵活时分复用保密性好便于大规模集成第三章离散系统的时域分析第三章离散系统的时域分析迭代法求系统响应经典时域法求系统响应卷积法求系统响应零输入响应求解零状态响应求解第三章离散系统的时域分析3.1LTI离散系统的响应一、差分与差分方程设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。1.差分运算微分运算差分运算3.1LTI离散系统的响应一阶前向差分定义：f(k)=f(k+1)–f(k)一阶后向差分定义：f(k)=f(k)–f(k–1)式中，和称

2、为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。差分的线性性质：[af1(k)+bf2(k)]=[af1(k)+bf2(k)]-[af1(k-1)+bf2(k-1)]=a[f1(k)-f1(k-1)]+b[f2(k)-f2(k-1)]=af1(k)+bf2(k)3.1LTI离散系统的响应二阶差分定义：2f(k)=[f(k)]=[f(k)–f(k-1)]=f(k)–f(k-1)=f(k)–f(k-1)–[f(k-1)–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-2)m阶差分:mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+…+bmf(k-m)3.1LTI离散系统的

3、响应2.差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。3.1LTI离散系统的响应迭代法：已知初始条件和输入，由差分方程迭代出系统的输出。例：若描述某系统的差分方程为y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。解：y(k)=–3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)y(2)=–3y(1)–2y

4、(0)+f(2)=–2y(3)=–3y(2)–2y(1)+f(3)=10……缺点：很难得到闭合形式的解。3.1LTI离散系统的响应二、差分方程的经典解y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)与微分方程经典解类似，y(k)=yh(k)+yp(k)1.齐次解yh(k)齐次方程y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0其特征方程为λn+an-1λn–1+…+a1λ+a0=0(3.1-15)其根λi(i=1，2，…，n)称为差分方程的特征根。齐次解的形式取决于特征根。当特征根λ为单根时，齐次解yh(k)形式为：Cλk当特征根λ为r重根

5、时，齐次解yh(k)形式为：(Cr-1kr-1+Cr-2kr-2+…+C1k+C0)λk3.1LTI离散系统的响应2.特解yp(k):特解的形式与激励的形式雷同(r≥1）。（1）激励f(k)=km(m≥0）①所有特征根均不等于1时;yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0②有r重等于1的特征根时;yp(k)=kr[Pmkm+…+P1k+P0]（2）激励f(k)=ak①当a不等于特征根时;yp(k)=Pak②当a是r重特征根时;yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+…+P1k+P0)ak（3）激励f(k)=cos(βk)或sin(βk)且所有特征根均不等于e±jβ；yp(k)=Pcos(

6、βk)+Qsin(βk)例：若描述某系统的差分方程为y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=–1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。解：特征方程为λ2+4λ+4=0可解得特征根λ1=λ2=–2，其齐次解yh(k)=(C1k+C2)(–2)k特解为yp(k)=P(2)k,k≥0代入差分方程得P(2)k+4P(2)k–1+4P(2)k–2=f(k)=2k，解得P=1/4所以得特解：yp(k)=2k–2,k≥0故全解为y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(–2)k+2k–2,k≥0将初始条件代入上式解得C1=1,C2=–1/43.1LTI

7、离散系统的响应解差分方程的方法有：1、迭代法三、零输入响应和零状态响应2、经典解法：完全响应自由响应（齐次解）强迫响应（特解）根据边界条件确定齐次解系数3、系统法：完全响应零输入响应零状态响应系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。数学模型:求解方法：根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式再由初始条件确定待定系数。求解系统零状态响应yf[k]的方法：1)直接求解初始状态为零的差分方程。2)卷积法