含有绝对值的不等式.ppt

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1、第一讲．绝对值三角不等式周至中学：张春霞绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、，当且仅当时，等号成立．几何解释：用向量a，b分别替换a，b.①当a与b不共线时，有

8、a＋b

9、<

10、a

11、＋

12、b

13、，其几何意义为：．②若a，b共线，当a与b时，

14、a＋b

15、＝

16、a

17、＋

18、b

19、，当a与b时，

20、a＋b

21、<

22、a

23、＋

24、b

25、.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a，b是实数，则

26、

27、a

28、－

29、b

30、

31、≤

32、a±b

33、≤

34、a

35、＋

36、b

37、.ab≥0三角形的两边之

38、和大于第三边同向反向(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么

39、a－c

40、≤

41、a－b

42、＋

43、b－c

44、.当且仅当时，等号成立．几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，

45、a－c

46、

47、a－b

48、＋

49、b－c

50、.当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，

51、a－c

52、

53、a－b

54、＋

55、b－c

56、；②点B不在A，C上时，

57、a－c

58、

59、a－b

60、＋

61、b－c

62、.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．(a－b)(b－c)≥0＝＝<含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可

63、通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式

64、

65、a

66、－

67、b

68、

69、

70、a±b

71、≤

72、a

73、＋

74、b

75、，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．设a、b是满足ab<0的实数，则下列不等式中正确的是()A．

76、a＋b

77、>

78、a－b

79、B．

80、a＋b

81、<

82、a－b

83、C．

84、a－b

85、<

86、

87、a

88、－

89、b

90、

91、D．

92、a－b

93、<

94、a

95、＋

96、b

97、解析：∵ab<0且

98、a－b

99、2＝a2＋b2－2ab，∴

100、(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<

101、a－b

102、2.∴(

103、a

104、＋

105、b

106、)2＝a2＋b2＋2

107、ab

108、＝

109、a－b

110、2.C不正确．答案：B故A、D不正确．B正确；又由定理1的推广知[例2]求函数y＝

111、x－3

112、－

113、x＋1

114、的最大值和最小值．[思路点拨]利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解](1)法一：

115、

116、x－3

117、－

118、x＋1

119、

120、≤

121、(x－3)－(x＋1)

122、＝4，∴－4≤

123、x－3

124、－

125、x＋1

126、≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.变式2.设函数f(x)＝

127、2x－1

128、+

129、1－x

130、,对任意的x,不等式[思路点拨]恒成

131、立问题先分离变量，再求最值。[解](1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．当堂检测1.求函数f(x)＝

132、x－1

133、＋

134、x＋1

135、的最小值．2.若对任意实数，不等式

136、x＋1

137、－

138、x－2

139、>a恒成立，求a的取值范围．3．求函数f(x)＝

140、x－1

141、＋

142、x＋1

143、的最小值．解：∵

144、x－1

145、＋

146、x＋1

147、＝

148、1－x

149、＋

150、x＋1

151、≥

152、1－x＋x＋1

153、＝2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1时取等号．∴当－1≤x

154、≤1时，函数f(x)＝

155、x－1

156、＋

157、x＋1

158、取得最小值2.4．若对任意实数，不等式

159、x＋1

160、－

161、x－2

162、>a恒成立，求a的取值范围．解：a<

163、x＋1

164、1)－(x－2)

165、＝3，∴－3≤

166、x＋1

167、－

168、x－2

169、≤3.－

170、x－2

171、对任意实数恒成立，∴a<[

172、x＋1

173、－

174、x－2

175、]min.∵

176、

177、x＋1

178、－

179、x－2

180、

181、≤

182、(x＋∴[

183、x＋1

184、－

185、x－2

186、]min＝－3.∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．