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1、初中数学竞赛辅导资料(9)一元一次方程解的讨论甲内容提要1，方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程 2x＋6＝0， x（x-1）=0,
2、x
3、=6, 0x=0, 0x=2的解分别是： x=－3,x=0或x=1, x=±6,所有的数，无解。2，关于x的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解 x=； 当a=0且b≠0时，无解；当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立）3, 求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整
4、数解、正数解 当a｜b时，方程有整数解；当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解；当a、b同号时，方程的解是正数。综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b乙例题例1a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2) ①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？解：①当a≠0且a≠2时，方程有唯一的解，x=②当a=0时，原方程就是0x=－8，无解；③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解④由①可知当a≠0且a≠2时，方程的解是x=,∴只要a与4同号，即当a>0且a≠2时，方程的解是正数。例2k取什么整数值时，方程 ①k(x+
5、1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？解：①化为最简方程（k＋2）x=4当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数 ∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。②化为最简方程kx=k－6，当k≠0时x==1－，只要k能整除6, 即k=±1，±2，±3，±6时，x就是整数 当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。例3 己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a 无解。问a和b应满足什么关系？解：原方程化为最简方程： (a－b)x=b∵方程无解，∴a－b=0且b≠0∴a和b应满
6、足的关系是a=b≠0。-36-例4 a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？解：原方程化为最简方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7， 根据 0x＝0时，方程有无数多解，可知当 时，原方程有无数多解。解这个方程组得 答当a=2且b=1时，原方程有无数多解。丙练习（9）1,根据方程的解的定义，写出下列方程的解：①(x+1)=0, ②x2=9, ③
7、x
8、=9， ④
9、x
10、=－3, ⑤3x+1=3x－1, ⑥x+2=2+x2,关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________3,在方程a(a－3)x=a中，
11、当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a＿＿＿时无解； 当a＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a＿＿＿＿时,解是负数。4，k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？①x=②x=③x=④x=5，k取什么值时，方程x－k=6x的解是①正数？②是非负数？6，m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解①是零？②是正数？7，己知方程的根是正数，那么a、b应满足什么关系？8，m取什么整数值时，方程的解是整数?9，己知方程有无数多解，求a、b的值。初中数学竞赛辅导资料（10）二元一次方程的整数解甲内容提要1，二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax
12、+by=c中，若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果（a,b）
13、c则方程ax+by=c有整数解显然a,b互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。返过来也成立，方程9x+3y=10和4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。2，二元一次方程整数解的求法：-36-若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数
14、。方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x==(1),设是整数），则y=1-5k(2), 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2∴原方程所有的整数解是（k是整数）方法二，公式法：设ax+by=c有整数解则通解是（x0,y0可用观察法）1，求二元一次方程的正整数解：①出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值②用观察法直接写出。乙例题例1求方程5x－9y=18整数解的能通解解x=设（k为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k∴原方程整数解是 （k为整数）又解：当x=o时，y=－2，∴方程有一个整数解它的通解是（
15、k为整数） 从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。例2，求方程5x+6y=100的正整数解解：x=(1)，设(k为整数)，则y=
