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1、学案2平面向量的基本定理及坐标表示名师伴你行SANPINBOOK名师伴你行SANPINBOOK考点1考点2填填知学情课内考点突破规律探究考纲解读考向预测考点3返回目录名师伴你行SANPINBOOK考纲解读平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.名师伴你行SANPINBOOK考向预测引入向量的坐标后，使向量之间的运算代数化，更加容易进行，高考常常考查向量之间各种坐标运算，处理向量的平行，以及作为工具解决与之有关的几何、三
2、角等知识.返回目录1.两个向量的夹角(1)定义已知两个向量a和b，作OA=a,OB=b，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角(如图).非零名师伴你行SANPINBOOK返回目录(2)范围向量夹角θ的范围是,a与b同向时,夹角θ=;a与b反向时,夹角θ=.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是,则a与b垂直,记作.2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于平0°≤θ≤180°0°180°90°a⊥b不平行名师伴你行SANPINBOOK返回目录面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=.其中,不共线的向量e1，e2叫做
3、表示这一平面内所有向量的一组.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示λ1e1+λ2e2基底互相垂直名师伴你行SANPINBOOK返回目录①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj.把有序数对叫做向量a的坐标,记作a=,其中叫做a在x轴上的坐标,叫做a在y轴上的坐标.②设OA=xi+yj,则就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为,反之亦成立(O是坐标原点).3.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算(
4、x,y)(x,y)(x,y)向量OA的坐标(x,y)xy名师伴你行SANPINBOOK返回目录(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=（x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于该向量的坐标减去的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线a=.x1y2-x2y1=0终点始点λb名师伴你行SANPINBOOK返回目录如右图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC.AM与BN相交于点P，求AP:PM的值.【分析】本题可先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量
5、的条件列出方程组，从而确定参数的值.考点1平面向量基本定理的应用名师伴你行SANPINBOOK返回目录【解析】设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在实数λ,μ使AP=λAM=-λe1-3λe2,BP=μBN=2μe1+μe2,故BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.而BA=BC+CA=2e1+3e2,λ+2μ=2λ=3λ+μ=3,μ=.故AP=AM,即AP:PM=4:1.由基本定理，得解得名师伴你行SANPINBOOK返回目录（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两
6、次使用三点共线.注意方程思想的应用.（2）用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握.名师伴你行SANPINBOOK返回目录设OA,OB不共线，P点在AB上,求证:OP=λOA+μOB且λ+μ=1(λ,μ∈R).证明:∵P点在AB上，∴AP与AB共线.∴AP=tAB(t∈R).∴OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB.令λ=1-t，μ=t，则有OP=λOA+μOB,λ+μ=1(λ,μ∈R).名师伴你行SANPINBOOK返回目录【分析】利用向量的坐标运算解题.考点2平面向量的坐标运算名师伴你行SANPINBOO
7、K［2010年高考安徽卷］设向量a=(1,0),b=(,),则下列结论中正确的是.(填序号)①
8、a
9、=
10、b
11、②a·b=③a-b与b垂直④a∥b【解析】①中,∵
12、a
13、=1,∴
14、a
15、≠
16、b
17、,①错;②项,∵a·b=1×+0×=,②错;③项,(a-b)·b=a·b-
18、b
19、2=0,故③项正确,④不正确.正确的只有③.∴名师伴你行SANPINBOOK返回目录利用平面向量的坐标运算分别判断四个选项的正误.名师伴你行SANPINBOOK返回目录已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b
