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《图论与组合数学期末复习题含答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、组合数学部分第1章排列与组合例1：1)、求小于10000的含1的正整数的个数；2、)求小于10000的含0的正整数的个数；解：1)、小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个2)、“含0”和“含1”不可直接套用。0019含1但不含0。在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。不含0的1位数有个，2位数有个，3位数有个，4位数有个不含0小于10000的正整数有个含0小于10000的正整数9999－7380=2619个。例2：从[1,300]
2、中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？解：将[1,300]分成3类：A={i
3、i≡1(mod3)}={1,4,7,…,298},B={i
4、i≡2(mod3)}={2,5,8,…,299},C={i
5、i≡0(mod3)}={3,6,9,…,300}.要满足条件，有四种解法：1)、3个数同属于A;2)、3个数同属于B；3)、3个数同属于C;4)、A,B,C各取一数；故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。例3：（Cayley定理：过n个有标志顶点的数的数目等于）1）、写出右图所对应
6、的序列；2）、写出序列22314所对应的序列；解：1）、按照叶子节点从小到大的顺序依次去掉节点（包含与此叶子节点相连接的线），而与这个去掉的叶子节点相邻的另外一个内点值则记入序列。如上图所示，先去掉最小的叶子节点②，与其相邻的内点为⑤，然后去掉叶子节点③，与其相邻的内点为①，直到只剩下两个节点相邻为止，则最终序列为51155.。2）、首先依据给定序列写出（序列长度+2）个递增序列，即1234567，再将给出序列按从小到大顺序依次排列并插入递增序列得到：112223344567。我们再将给出序列22314写在第一行，插入后的递增序列写在第二
7、行。如下图第一行所示：Word资料。我们每次去掉第一行第一个数，并在第二行寻找第一个无重复的元素5并将它取出，将⑤与②连接起来，并在第二行去掉第一行的第一个元素②，剩下的序列为1122334467，依次执行下去。最终剩下的两个元素（47）连在一起。则形成了以下的树。例4：（圆排列问题：从n个字符中取r个不同的字符构成圆排列的个数为。）5对夫妇出席一宴会，围一圆桌坐下有多少种方案？要求每对夫妇相邻而坐，方案有多少种？解：1）、此问便是考查圆排列的公式定义，由可得，排列方式有种。2）、同样，先将5个丈夫进行圆排列则有种，再将5个妻子插到丈夫的
8、空隙之中，每个妻子只有两种选择，要么在丈夫的左边，要么在右边。因此由种插入的方法，所以一共有种。有错误！例5：（允许重复的排列）已知重集，做重集S的全排列，问有多少中排列方案？解：设可重复，其中，为S中k个不同元素，则S的个数为，S的全排列为：则据题意可得：方案数为。列6：（允许重复的组合）试问有多少项？解：由于Word资料，相当于从右边每个括号里取一个元素相乘，而元素可以对应相同（如4个括号我都取x）或者不同。这就相当于将4个无区别的球放进3个有区别的盒子，由于在个不同元素中取个进行组合，允许重复，则组合数为。（或者说个无区别的球放进个
9、有区别的盒子里，每个盒子球数不限，则共有种）。问题等价于从3个元素中取4个做允许重复的组合，项。例6：（线性方程的整数解个数问题）已知线性方程，和都是整数，，求此方程非负整数解的个数？解：方程的非负整数解对应一个将个无区别的球放进个有区别的盒子的情况，允许一盒多球，故原式可以等价转化为将将1到的正整数取个作为允许重复的组合，其组合数为个。例7：（不相邻的组合）从中取三个元素做不相邻的组合，有多少种方式？解：由于从中，取个作不相邻的组合，其组合数为，因此在此题中，组合数种类有种。例8：（全排列的三种生成算法）（1）、已知，，求对应的序列。（
10、2）、利用字典序法求求839746521的下一个排列。解：（1）、由于0到中的任何整数都可以唯一表示为其中，，可以证明从0到的个整数与一一对应，我们要得到这些值就得每次除以与其相对应的数值，就可以得到与相对应的余数值。因为，所以：Word资料所以：。把n-1个元素的序列和n个元素的排列建立一一对应关系，从而得到一种生成排列的算法——序数法。将与给出序列相对应，例如给出4213，那么对应，由大到小的计算当前数值位置右边比此位置数值大的数值的个数，例如最大的数为4，4这个数右边有3个数比它小，所以，同理，第二个大的数为3，在3这个数右边有0个
11、比它小的数，所以，同理对应2这个数右边有一个数比他小，所以。综上所述，对应序列为。4同时，由也可以推出最大数4的右边有3个比它小的数，为：43第二个大的数3右边比他小的数的个数为0，因此，为：
