新编经济应用数学 线 概 数 第五版 4.1.2 Word 教案.doc

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1、4.1.2随机变量及其分布教学目的：理解概率分布律、概率密度函数、分布函数的定义及性质，了解分布函数的求法，掌握正态分布标准化方法，会通过查标准正态分布表求解一些实际应用的概率问题。内容：1、随机变量的概念2、离散型随机变量及其概率分布3、连续型随机变量及其概率分布4、几种常见的随机变量的概率分布（二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布及正态分布）5、随机变量函数的分布教学重点：分布函数的概念及性质、正态分布及计算教学难点：分布函数、概率密度函数，随机变量函数的分布教具：多媒体课件教学方法：启发式教学、精讲多练教学过程：1

2、、引入新课：为了深入地研究随机现象，需要把随机试验的结果数量化，从而引出了随机变量的概念。由研究的规律性随机变量，而引出随机变量的概率分布。2、教学内容：一、随机变量的概念在许多问题中，随机事件与实数间存在客观联系。在10个产品中有8个正品，2个次品。从中任取3个，其中次品数可用一个变量表示，记作，则。在一次射击中“命中的环数”这一随机现象的可能结果是“中0环”，“中1环”…“中10环”，我们可以用变量来表示这些出现的“命中环数”：=0表示事件“命中0环”=1表示事件“命中1环”=2表示事件“命中2环”…………………………

3、…………＝10表示事件“命中10环”一般地，可以用表示事件“命中环定义1在随机试验中，每个随机事件都唯一地对应着一个数，把这些数用表示，则是随实验结果而变化的量，称为随机变量，简记为。根据随机变量的取值情况，可以把随机变量分成两类：离散型随机变量和非离散型随机变量。离散型随机变量就是可取值可以一一列举出来的随机变量。非离散型随机变量的范围很广，情况比较复杂。其中最重要的，也是在实际中常遇到的是连续型随机变量。本课程中只讨论离散型和连续型随机变量。二、离散型随机变量定义2如果随机变量只取有限个或可列多个可能值，同时以确定的概

4、率取这些不同的值，则称为离散型随机变量。离散型随机变量的所有取值与其对应的概率间的关系，称为离散型随机变量的概率分布，或称为概率函数。离散型随机变量的概率分布的表示法：（1）解析法：随机变量取各个值的概率为。（2）列表法：这个表称为随机变量的概率分布表。（3）图示法：借助于直角坐标系，将离散型随机变量的概率分布用图表示。由概率的性质不难知道，任何一个随机变量的概率分布都具有以下两条性质：(1)非负性：(2)完备性：【例1】一批产品的废品率为5%，从中任意选取一个进行试验，用随机变量来描述这一试验，试写出的概率分布。解：用表

5、示废品个数，可能的取值为0，1。表示产品为合格品，，表示产品为废品，，则的概率分布也可以表示为：010.950.05【例2】某产品有一、二、三个等级另外还有废品。其中一、二、三等所占比例及废品率分别为60%、10%、20%及10%，任取一个产品检查质量，用随机变量描述这一试验，写出的概率分布。解：表示产品为废品，，表示产品为等品，，，。则的概率分布也可以表示为：01230.10.60.10.2【例3】用随机变量描述投掷一枚骰子的试验。解：用表示投掷一枚骰子出现的点数。则有则的概率分布也可以表示为：123456【例4】从一大

6、批产品中逐个取出检查，直到查出一件次品为止，设产品的次品率为，求所需抽查次数的概率分布。解：设所需抽查次数，必须满足前次未查出次品，在第次查出次品。由于产品数量大，可认为各次抽查相对独立，且每次查出次品的概率为，查出不是次品的概率为，于是三、连续型随机变量定义3对于随机变量，若存在非负可积函数，使得对任意实数，都有则称为连续型随机变量。其中，函数叫做概率密度函数（简称概率密度），的图象叫做概率密度曲线。概率密度函数有如下性质：根据定积分的几何意义可知，随机变量取值落在区间内的概率等于由直线，曲线以及X轴围成的曲边梯形的面积

7、；与轴之间的面积为1。如下图所示。　　　　不难看出，对任意实数，于是有【例5】某电子计算机在发生故障前正常运行的时间（单位：小时）是一个连续型随机变量，概率密度为问：这个计算机在发生故障前能正常运行50至150小时的概率是多少？运行时间少于100小时的概率是多少？解：由于，即有求积分可得从而计算机在发生故障前能正常运行50至150小时的概率为四、分布函数分布函数能够将离散型随机变量与连续型随机变量概率分布的描述统一起来。定义4设是一个随机变量，为任意实数，函数称为的分布函数。注意：该定义的几何意义为：分布函数在处的函数值在

8、几何上表示随机变量取值落在区间上的概率。对于离散型随机变量，由概率分布，得对于连续型随机变量，设概率密度为，得分布函数具有下面性质：（1）；（2）为不减函数；（3）；（4）特别地，【例6】有一个袋子装有5各相同的球，分别标有号码1、2、3、4、5，从中任取3个，令表示三个球中的最大号码，试求下列结果：（