新编经济应用数学 线 概 数 第五版 教案3.1.3.doc

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1、3．1．3矩阵的概念及运算教学目的：理解矩阵的概念，了解一些特殊矩阵的定义及性质；掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其规律。内容：1.矩阵的概念、几种特殊矩阵、矩阵的相等2.矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵的乘法3.矩阵的转置、矩阵的行列式教学重点：矩阵的概念、矩阵的乘法、矩阵的行列式教学难点：矩阵的乘法教具：多媒体课件教学方法：精讲，多练教学过程：1.引入新课：通过线性方程组的求解和实际问题的矩形数表应用引出矩阵的概念，并给出矩阵的运算。2.教学内容：一、矩阵的概念考察下面两个例子：①线性方程组：把方程组的系数和常数项按原来的行列次序排出一张矩形数表方程组就完全由这张矩形数

2、表所确定。②一个企业有甲乙丙三种产品和一二三四4个销地区，所考察期间累计的销售量状况如下表：地区销售量产品一二三四甲乙丙306553472171845189858169上述销售状态完全由以下矩形数表所确定。在实际问题中，经常舍去文字描述，只对数据进行提取与处理，构成一个矩形数表．数学上将这样的矩形数表称为矩阵．定义1由个数排成的一个行、列的矩形数表称为行列矩阵，简称矩阵。（记作或．其中叫做矩阵的第行第列元素或简称为元．矩阵常用大写字母表示．有时行列矩阵也记作．7显然，矩阵和行列式是两个完全不同的概念．二、几种特殊矩阵1、零矩阵所有元素都是的矩阵称为零矩阵，记作或．2、

3、行矩阵、列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵．即．只有一列的矩阵称为列矩阵．即3、阶方阵矩阵称阶方阵或阶矩阵。①＝是一个阶方阵，元素称为主对角线上的元素，或简称为主对角元．一阶方阵看作是一个数．即．②主对角线以下元素全为０的方阵称为上三角形矩阵。记作③主对角线以上元素全为０的方阵称为下三角形矩阵。记作上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角矩阵．④除了主对角线上的元素以外，其余元素全为零的方阵称为对角矩阵。即⑤主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数量矩阵。即⑥如果n阶数量矩阵中的元素,则称该矩阵为n阶单位矩阵，记作，即7n阶数量矩阵可写成。4．矩阵的相等定义2设矩阵与，如果满足：①

4、，；②，（。则称矩阵与相等，记作。为对称矩阵．【例1】设，，如果，求,,,．解由必有得三、矩阵的运算1、矩阵的加法先看下面的例子。某厂供应科发放四种物质给三个部门，第一季度和第二季度供应数量如下表（单位：百件）第一季度供应情况数量物质部门1234ⅠⅡⅢ549831624776第二季度供应情况数量物质部门1234ⅠⅡⅢ448923743657上述两表表示为两个矩阵为那么该厂上半年四种物质按部门累计供应量可用下列矩阵表示7定义3设，都是矩阵，称由与的对应元素相加得到的矩阵为矩阵与的和，记作其中【例2】设，，求。解注意只有行数相同列数也相同的两个矩阵才能进行运算。矩阵加法满

5、足下列运算律:（1）交换律：；（2）结合律：；（3）存在零矩阵：对任何矩阵A，有；（4）存在负矩阵：对任何矩阵A，存在矩阵，使。2、数乘矩阵定义4用数乘以矩阵的所有元素所得到的新矩阵，称为的数乘矩阵，记作．即．由数乘矩阵的定义，我们可能定义矩阵的负矩阵为，记为．从而可以定义两个矩阵的减法运算。设设，，那么数乘矩阵满足下列运算律：（1）；（2）；（3）；（4），，。【例3】设，求矩阵．其中，．解由得，从而．3、矩阵的乘法先看下面的例子．7设有甲、乙、丙三种产品，其中某两年的产量用矩阵A表示；其成本与销售价用矩阵B表示，求两年的成本总额与销售总额。第一年成本总额为第一年销

6、售总额为第二年成本总额为第二年销售总额为用矩阵表示为去掉所有的文字，抽象出矩阵的乘法：=上述运算过程给出了矩阵与矩阵的乘法的一个实际应用背景．定义5设矩阵，，称矩阵为矩阵与的乘积，记作其中注意（1）只有当矩阵的列数等于矩阵的行数时，才有意义；（2）矩阵的行数等于的行数，列数等于矩阵的列数。【例4】设，求．7解【例5】　设，，求与．解　无意义。【例6】　设，，求与。解由例5、例6可知①矩阵的乘法不满足交换律，即。②即使矩阵，但可能，即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。也就是说，不一定有或．【例7】已知，，，求与．解　　　由例7可知，矩阵乘法不满足消去律，由，当时，不一定有

7、，一般不能在等式两端都消去矩阵。矩阵乘法满足以下运算律：（1）结合律　（2）分配律（3）（为常数）（4）（与是同阶方阵）4、矩阵的转置定义６将矩阵的行变为相应的列，得到新的矩阵，称为矩阵的转置矩阵，记作．即，．是矩阵，是矩阵。7如果是一个阶方阵，且，则称是阶对称方阵。如果是一个阶对称方阵，则必有。转置矩阵有如下性质：（1）；（2）；（3）（为常数）；（4）。三、矩阵的行列式定义7　将一个阶矩阵的元素按原顺序排列，构成一个阶行列式，称为阶矩阵的行列式．记作。注意只有方阵才有行列式。设为方阵，为常数，则方阵的行列式，有下列运算规律：（1）；（2）；（3）