知识讲解 正弦函数、余弦函数的性质 基础.doc

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1、正弦函数、余弦函数的性质编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.了解周期函数、周期、最小止周期的定义；2.理解止弦函数、余弦函数在区间［0,2刃上的性质（如单调性、周期性、最大值和最小值以及与兀轴的交点等）•【要点梳理】要点一：周期函数的定义函数〉，=/（X）,定义域为I,当xel时，都有/（x+r）=/（兀），期T是一个非零的常数，则y=/（%）是周期函数，T是它的一个周期.要点诠释：1.定义是对I中的每一个兀值来说的，只有个别的x值满足/（兀+门=f（x）或只差个别的无值不满足f（x+T）=/（x）都

2、不能说T是y=/（x）的一个周期.2.对于周期函数來说，如果所有的周期中存在一个最小的止数，就称它为最小止周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质函数止弦函数y=sinx余弦函数y=cosx定义域RR值域[-1,1][-1,1]奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期2兀最小正周期2龙单调区间kez增区间,2k7TH—]22》戒区间兀…3冗、[2R/TH,2k7TH]22增区间[2k7r-龙,2鸟兀]减区间2k7i,2k7i+7i最值点kezTT最大值点（2^+-,1

3、）TT垠小值点（2£兀一一，一1）2最大值点（2k兀心最小值点（2£兀+兀,一1）对称中心kez（炽,0）71伙7T+-,0)2对称轴kez/71X=K7T+—2x=k7l要点诠释:（1）止弦函数、余弦函数的值域为是指整个止弦函数、余弦函数或一个周期内的止弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么止弦函数、余弦函数的值域就可能不是［-1,1］,Mifu求止弦函数、余弦函数的值域吋，要特别注意其定义域.（2）求止弦函数的单调区间吋，易错点有二：一是甲调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求y=sin（

4、-x）的单调递增区间时,应先将y=sin（-x）变换为y=-sin兀再求解,相当于求y=sinx的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域.要点三：正弦型函数y=Asin（ex+cp）和余弦型函数y=Acos（ax+©）（A,co>0）的性质.函数y=Asin（69A'+0）与函数y=Acos（or+cp）nJ*看作是山正弦函数y=sinx,余弦函数y二cos兀复合而成的复合函数，因此它们的性质可山止弦函数y=sinx,余弦函数y二cos%类

5、似地得到:（1）定义域：R（2）值域：[-A,A]（3）单调区间：求形如y=Asin（69x+0）与函数y=Acos（69x+（p）（A,69>0）的函数的单调区间"J以通过解不等式的方法去解答，即把ojx+（p视为一个“整体”，分别与止弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx的单调递增（减）区间对应解出兀，即为所求的单调递增（减）区间.比如：山7TTT2k7T——

6、解出兀的范围，所得区间即为减区间.（4）奇偶性：止弦型函数y=Asin（0%+0）和余弦型函数y=Acos（69x+>0）不一定具备奇偶性.对于函数y=As{a）x+（p）,当cp=k7i（kgz）时为奇函数，（p=k/r±—伙wz）时为偶函数;2TT对于函数y=4cos（

7、域关于原点对称”这一前提条件•（5）周期：函数y=Asin（ex+0）及函数y=Acos（a）x+（p）的周期与解析式中自变量兀的系数有关，其周期为7=—.（1）（6）对称轴和对称中心TT与止弦函数y=sinx比较可知，当cox+（p=k7r±—（kez）吋，函数y=Asin（o>%+^）収得最大值（或2TT瑕小值），因此函数y-Asin（69A+^9）的对称轴山ojx+（p=k7r±—（kwz）解出，英对称中心的横坐标cox-^cp-kn伙wz），即对称中心为—~,0仗wz）.同理，y=Acos（cox

8、+cp）的对称轴山IO丿0JX+（p=k7T（kEz）解出，对■称中心的横坐标山（i）X+（p=k7T±—伙GZ）解出.要点诠释：若x居R,则函数y=Asin（亦+0）和函数y=Acqs{cdx+（p）不一定有对称轴和对称中心.【典型例题】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1.求函数y=V2sin2x+cosx-1的定义域；【答案】

9、x

10、2k;r-^-