2011年江苏省南通市中考数学试题（解析版）3.doc

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1、27．(12分)已知A(1，0)、B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)、E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过其中的三个点．(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上；(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？(3)求a和k的值．a(－1－1)2＋k＝2a(4－1)2＋k＝2【答案】解：(1)证明：用反证法。假设C(－1，2)和E(4，2)都在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上，联立方程，解之得a＝0，k＝2。这与要求的a＞

2、0不符。∴C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。(2)点A不在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。这是因为如果点A在抛物线上，则k＝0。B(0，－1)在抛物线上，得到a＝－1，D(2，－1)在抛物线上，得到a＝－1，这与已知a＞0不符；而由(1)知，C、E两点不可能同时在抛物线上。因此点A不在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。(3)综合(1)(2)，分两种情况讨论：①抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)三个点，a(0－1)2＋

3、k＝－1联立方程a(－1－1)2＋k＝2，a(2－1)2＋k＝－1解之得a＝1，k＝－2。②抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过B(0，－1)、D(2，－1)、E(4，2)三个点，a(0－1)2＋k＝－1联立方程a(2－1)2＋k＝－1，a(4－1)2＋k＝2解之得a＝，k＝。因此，抛物线经过B、C、D三个点时，a＝1，k＝－2。抛物线经过B、D、E三个点时，a＝，k＝。【考点】二次函数，二元一次方程组。【分析】(1)用反证法证明只要先假设结论成立，得到与已知相矛盾的结论即可。(2)要证点A不在抛物线上，只要证

4、点A和其他任意两点不在同一抛物线上即可。(3)分别列出任意三点在抛物线上的所有情况，由(2)去掉点A，还有B、C、D、E四个点，可能情况有①B、C、D，②B、C、E，③B、D、E和④C、D、E。而由(1)去掉②B、C、E和④C、D、E两种C、E两点同时在抛物线上的情况。这样只剩下①B、C、D和③B、D、E两种情况，分别联立方程求解即可。OABlxy28．如图，已知直线l经过点A(1，0)，与双曲线y＝(x＞0)交于点B(2，1)．过点P(p，p－1)(p＞1)作x轴的平行线分别交双曲线y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)

5、于点M、N．8第3页共3页(1)求m的值和直线l的解析式；(2)若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；(3)是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)由点B(2，1)在y＝上，有2＝，即m＝2。设直线l的解析式为，由点A(1，0)，点B(2，1)在上，得，，解之，得∴所求直线l的解析式为。(2)点P(p，p－1)在直线y＝2上，∴P在直线l上，是直线y＝2和l的交点，见图（1）。∴根据条件得各点坐标为N（－1，2），M（1，2）

6、，P（3，2）。∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，AP＝，BP＝∴在△PMB和△PNA中，∠MPB＝∠NPA，。∴△PMB∽△PNA。(3)S△AMN＝。下面分情况讨论：当1＜p＜3时，延长MP交X轴于Q，见图（2）。设直线MP为则有解得则直线MP为当y＝0时，x＝，即点Q的坐标为（，0）。则，由2＝4有，解之，p＝3（不合，舍去），p＝。当p＝3时，见图（1）S△AMP＝＝S△AMN。不合题意。当p>3时，延长PM交X轴于Q，见图（3）。此时，S△AMP大于情况当p＝3时的三角形面积S△AMN8第3页共3

7、页。故不存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP。综上，当p＝时，S△AMN＝4S△AMP。【考点】反比例函数，一次函数，待定系数法，二元一次方程组，勾股定理，相似三角形一元二次方程。【分析】(1)用点B(2，1)的坐标代入y＝即可得m值，用待定系数法，求解二元一次方程组可得直线l的解析式。(2)点P(p，p－1)在直线y＝2上，实际上表示了点是直线y＝2和l的交点，这样要求证△PMB∽△PNA只要证出对应线段成比例即可。(3)首先要考虑点P的位置。实际上，当p＝3时，易求出这时S△AMP＝S△AMN，当p>3时，注

8、意到这时S△AMP大于p＝3时的三角形面积，从而大于S△AMN，。所以只要主要研究当1＜p＜3时的情况。作出必要的辅助线后，先求直线MP的方程，再求出各点坐标（用p表示），然后求出面积表达式，代入S△AMN＝4S△AMP后求出p值。8第3页共3页