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《指数函数与对数函数的交点个数问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、指数函数与对数函数交点个数问题安徽省涡阳县第三中学胡维大论题：指数函数与对数函数交点个数问题．分及两种情况进行讨论．（一）：当时，过原点作的切线，设切点为∵∴又∵∴∴从而当，即，亦即时，P在上，∴这样就有，∴∴是与的公共点.当,即，亦即时，与相离,与没有公共点.当,即，亦即时，与有两个公共点,,同理可知,均是与的公共点.5引理：当时，与不可能有不在上的公共点.证明：用反证法.假设与有公共点,,当时,①,②由②得③∵单增,又∵∴由此式结合①③可知,与矛盾.同理当时亦矛盾.从而假设不真.所以,引理得证.由上可知：当时,与有两个公共点,当时,与有唯一公共点,当时,与没有公共点.（二）：当时,作函数
2、,易知,不妨设,则,过原点作的切线,则切线的斜率当,即时,恒成立.从而单增,∴有唯一的零点.5当,即时,不妨设与交于两点,,()则当时,,当时,,当时,∴的单增区间为,,单减区间为在处取得极大值,且,在处取得极小值,且,再由零点存在定理可知,有三个零点,分别在区间,,之内.对上述及的结论,可证明如下：设（）与的交点为∵∴∴即当时，的函数值小于的函数值，数形结合可知∵（）与的交点为∴从而于是5又∵∵，∴，又∵，∴，∴∴，又∵当时,,当时,,当时,∴又∵在区间单减及可知且由上可知：当即时，与有唯一公共点,且此公共点在上，当即时，与有三个公共点,且有两个不在直线上，但关于对称，而第三个公共点在直线
3、上.综合上述,我们可以得到如下结论：当时,与有两个公共点,且两个公共点均在直线上.5当时,与有唯一公共点,且该公共点在直线上.当时,与没有公共点.当时，与有唯一公共点,且此公共点在上，当时，与有三个公共点,且有两个不在直线上，但关于对称，而第三个公共点在直线上.5
