资源描述：
《指数函数与对数函数的交点个数问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、指数函数y=Y与对数函数)一logy交点个数问题安徽省涡阳县第三中学胡维大论题：指数函数y—(«〉0且与对数函数=log(a>OJi^z1)交点个数问题.分《>1及0<«<1两种情况进行讨论.aA(,In“(―):当〃>1时，过原点0(0,0)作y=的切线/，设切点为P(x(py。)•••yf=axxa•••々/=)’Xq又•••k:=Ux0x0ax()Inax0x0alo§«从而众/=a{og°eln^=eina当<=1，即Hn“=1，亦即“时，P在y=*上，••x()=这样就有一=，/.logflx()=x()•••P(x0,y0)是y=f与y=log«x的公共点.当々/〉1，
2、即〉1，亦即“〉时，y=6T'与)，=x相禹，y=“'与y=log，没有公共点.当么<1，即士6/<1，亦即1<“<时，^=^与>，=，有两个公共点似(又1，｝0，離2,72)，同理可知似0^1),帅2,72)均是｝=6^与y=logflx的公指数函数y=Y与对数函数)一logy交点个数问题安徽省涡阳县第三中学胡维大论题：指数函数y—(«〉0且与对数函数=log(a>OJi^z1)交点个数问题.分《>1及0<«<1两种情况进行讨论.aA(,In“(―):当〃>1时，过原点0(0,0)作y=的切线/，设切点为P(x(py。)•••yf=axxa•••々/=)’Xq又•••k:=Ux0x0
3、ax()Inax0x0alo§«从而众/=a{og°eln^=eina当<=1，即Hn“=1，亦即“时，P在y=*上，••x()=这样就有一=，/.logflx()=x()•••P(x0,y0)是y=f与y=log«x的公共点.当々/〉1，即〉1，亦即“〉时，y=6T'与)，=x相禹，y=“'与y=log，没有公共点.当么<1，即士6/<1，亦即1<“<时，^=^与>，=，有两个公共点似(又1，｝0，離2,72)，同理可知似0^1),帅2,72)均是｝=6^与y=logflx的公共点.引理：当fl>l时，：^=£^与y=logax不可能有不在>•=%上的公共点.证明：用反证法.假设3；
4、=«'与y=log,,X有公共点e(M),s,t>O,s^t,当SZ时,6Z5=f①，log„S=?②由②得i③•••尸Y单增，又•••s〉Z•••as>a'由此式结合①③可知t>S,与5〉Z矛盾.同理当t>S时亦矛盾.从而假设不真.所以，引理得证.由上可知：当lQ+-oolim/(x)=+ooX^+oo(m<0)，则f(^)=e，UAinxme_肌-m2x-mxe~mx
5、过原点作y=fu的切线，则切线的斜率k=ee~m=-me当-me2m2，即m2-0•••,(X)的单增区间为(0，_¥1),0?2,+0°)，单减区间为01,工2)/(x)在A：=4处取得极大值，且/u,)〉0，/(x)在％=x2处取得极小值，且/(，2)<0，再由零点存在定理可知，/W有三个零点，分别在区间(0,%,),^，x2)，U2,+oo)之内.对上述/(X,)>0及/u2)
6、<0的结论，可证明如下:设)，=广(m<-e)与y=x的父点为(x3，x3)m.m<-e••m-—<-1ee，=^的函数值小于y=x的函数值，数形结合可知A<1eertLXm<-e)与y=x的交点为(x3，x3)•••又3二e’从而In=mx3f(X3)=c,UA：>In—tKX^—0•mm又？/’⑷e—叫-m2x,x3m2x3-mx^e-tnxy-mx^e-I22l-mx32-mx3e(1+mx3)(1-mx3?一mx;e-^3•••m<0,〉0，•••1—mx3〉0，一nvcje~mXy>01又•••又3<7，/.Inx3<—1，/•1+mx3<1+Inx3<0•••
7、/’(x3)<0，又•••当xe(0,人)时，/’(x)〉0，当xeOpXj时，fx)<0,当X€O2,+oo)时，fx)>0x3e(x,,x2)又•••/(x)在区间(XpXj单减及/(x3)=0可知/(&)〉0且/(*2)<0由上可知：当m2—e即幺《<1时，产y与〉，=iogj有唯一公共点,且此公共点在y=*上，当m<—e即0<6(
