浙江省宁波市九校2019-2020学年高二上学期期末联考数学试题（教师版）.doc

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宁波市2019学年第一学期期末九校联考高二数学试题选择题部分：共40分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.【详解】即,故抛物线焦点在轴上,,焦点纵坐标为.故焦点坐标为故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的焦点坐标,需要将抛物线化成标准形式再判断,属于基础题.2.若复数满足，则的虚部为()A.B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】先计算出，再整理得即可得解.详解】即，.故选：C.【点睛】本题考查了复数的概念、复数的四则运算以及复数模的概念，属于基础题.3.设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是　　 A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】D【解析】【分析】在A中，l与相交、平行或；在B中，l与m相交、平行或异面；在C中，或；在D中，由线面垂直的性质定理得．【详解】由l，m是两条不同的直线，是一个平面，知：在A中，若，，则l与相交、平行或，故A错误；在B中，若，，则l与m相交、平行或异面，故B错误；在C中，若，，则或，故C错误；在D中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故D正确．故选D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4.设，，，则线段的中点到点的距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间中中点的公式与点到点的距离公式求解即可.【详解】由,可知的中点.故到点的距离为.故选：A【点睛】本题主要考查了空间中中点的公式与点到点的距离公式,属于基础题.5.已知，，，是空间四个不同的点，则“与是异面直线”是“与是异面直线”的（）A.充分不必要条件B.充要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据异面直线的性质判定即可.【详解】由题,当与是异面直线时,,,,四点不共面.故定有与是异面直线.反之亦然.故“与是异面直线”是“与是异面直线”的充要条件.故选：B【点睛】本题主要考虑从了空间异面直线的性质与判定,属于基础题.6.以下关于圆锥曲线的命题中：①双曲线与椭圆有相同焦点；②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；③设、为两个定点，为常数，若，则动点的轨迹为双曲线；④过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于、，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条；以上命题正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】①直接求解双曲线与椭圆的焦点再判断即可.②利用焦半径公式分析即可.③举出反例判定即可.④设过焦点的直线方程联立抛物线分析即可.【详解】对①,双曲线的焦点为,椭圆的焦点为.故①正确.对②,不妨设以抛物线的焦点弦端点为 .则以焦点弦为直径的圆的圆心.又圆的直径,圆心到准线的距离.故以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线是相切的.同理对任意开口的抛物线均成立.故②正确.对③,当时易得,故的轨迹为线段的中垂线.对④,设过抛物线的焦点作直线,则.设则横坐标之和.故使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条.故①②④正确,③错误.故选：C【点睛】本题主要考查了圆锥曲线中的定义与焦点弦性质运用,属于中档题.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作平行于的渐近线的直线交于点．若，则的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：取双曲线的渐近线为，因为，，所以过作平行于渐近线的直线的方程为，因为，所以直线的方程为，联立方程组可得点的坐标为，因为点在双曲线上，所以，即，因为，所以，整理得，因为，所以.故选D. 考点：双曲线的性质.8.如图，正四棱锥的各棱长均相等，是上的动点（不包括端点），是的中点，分别记二面角，，的平面角为，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】连对角线得底面的中心,则垂直底面,由三垂线定理作出面面所成角,并分别表示其正切值,分子相同,易知的分母最大,可知最小．【详解】连接交于,令,作垂直于，连接,易知,所以,显然,∴最小， ∴最小，故选：D.【点睛】本题主要考查了二面角大小的判定,需要根据题意作出对应的角度再求正切的关系分析即可.属于中档题.9.设椭圆()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】记椭圆的左焦点为，则，即，，，即，即，椭圆的离心率的取值范围是，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用椭圆定与性质求椭圆的离心率，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用椭圆的定义以及三角形两边与第三边的关系构造出关于的不等式，最后解出的范围.10.已知抛物线，过点作直线交抛物线于另一点，是线段的中点，过点作与轴垂直的直线，交抛物线于点，若点满足，则的最小值是（）A.B.C.1D. 【答案】B【解析】【分析】设,再分别表示的坐标,进而表示出再根据解析式求最小值即可.【详解】设,因为,是线段的中点所以.故直线的方程.代入则.又所以是的中点,可得.故.故当时,取最小值.故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线上的点表达相应的量求最值的问题.需要根据题意设点,找出目标函数对应的解析式,再利用函数的最值求解.属于中档题.非选择题部分：共110分二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.设复数，，其中是虚数单位，若为纯虚数，则实数______.【答案】【解析】【分析】由题,设,再化简求解即可.【详解】设,则.故. 故答案为：【点睛】本题主要考查了根据纯虚数求解参数的问题,属于基础题.12.已知圆C：和点，P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程为______；若直线l与M点的轨迹相交，且相交弦的中点为，则直线l的方程是______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】根据线段中垂线的性质可得，，又半径，故有，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出值，即得椭圆的标准方程设出直线与椭圆的两个交点A，B的坐标及AB的中点的坐标，利用点差法结合直线斜率，然后得到直线方程．【详解】由圆的方程可知，圆心，半径等于，设点M的坐标为，的垂直平分线交CQ于点M，又半径，依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且，，，故椭圆方程为 ，设直线l交椭圆与，两点，AB的中点为，，，则，，作差得：，，直线l的方程是：，即：． 故答案为，．【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、椭圆的标准方程及其简单的几何性质，得出是解题的关键和难，同时着重考查了点差法的应用，以及推理与运算能力．13.某几何体的三视图如图所示（单位：），俯视图为正三角形，则该几何体的体积（单位：）是______，该几何体的表面积（单位：）是______.【答案】(1)..(2)..【解析】【分析】易得该几何体是以底面边长为4的正三角形,高为2的直三棱柱.再求表面积即可.【详解】由图可知该几何体是以底面边长为4的正三角形,高为2的直三棱柱.底面积为.故体积为.侧面积为.故表面积为.故答案为：(1)..(2).【点睛】本题主要考查了根据三视图求几何体的表面积与体积.属于基础题.14.在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量______，异面直线与所成角的余弦值为______.【答案】(1)..(2)..【解析】 【分析】(1)画图利用空间向量的加减法运算求解即可.(2)将用,,表示,再用空间向量的夹角公式求解即可.【详解】画出对应的正四面体,设棱长均为1则(1).(2)由(1),又.又.设异面直线与所成角为则.故答案为：(1)..(2).【点睛】本题主要考查了空间向量的线性运算与空间向量夹角的问题,可以用基本量去表示要求的向量,再利用数量积中的夹角公式求解.属于中档题.15.双曲线：的渐近线为菱形的边，所在的直线，点为双曲线的焦点，若，则双曲线的方程为______.【答案】.【解析】 【分析】由题意知渐近线的倾斜角为的一半,进而求得的关系,再根据为双曲线的焦点列式求解即可.【详解】题意知渐近线的倾斜角为的一半即,故,又点为双曲线的焦点所以,故.所以双曲线的方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据几何关系求解双曲线的标准方程,需要根据题意找到基本量之间的关系再运算求解.属于基础题.16.边长为2的等边和直角所在半平面构成的二面角，当，时，线段的长度为______.【答案】.【解析】【分析】作于,面于,再根据构造出的三角形求解对应的边长进行求解即可.【详解】作于,面于,连接易得为等边和直角所在半平面构成的二面角.又,,故,...画出底面分析可知..故. 故答案为：【点睛】本题主要考查了根据空间中边角关系计算线段长度的问题,需要作出辅助线构造直角三角形进行求边长的运算.属于中档题.17.如图，在中，，，，将绕边翻转至，使面面，是的中点，设是线段上的动点，则当与所成角取得最小值时，线段的长度为______.【答案】.【解析】【分析】取中点,连接可知与所成角即为与 所成角,再根据线面垂直的性质分析所成角取得最小值时的位置再计算即可.【详解】取中点,连接可知与所成角即为与所成角,再连接.根据线面相交的性质可知,的最小值当且仅当为直线与平面的线面角时取得.又,,,故.故,故.又面面且交于,故平面,故.故当时有平面,此时为直线与平面线面角.即当与所成角取得最小值时.又.故.又,故.故,.故此时.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据空间中夹角的最值问题求解线段长度的问题,需要分析到当角度取最小值时的线面垂直关系,再利用平面几何中的解三角形知识求解边角关系.属于难题.三、解答题：本大题共5小题，18题14分，19-22题每题15分，共74分. 18.已知条件：“存在，”，条件：“曲线：表示焦点在轴上的椭圆”，条件：“曲线：表示双曲线”.（1）若与同时成立，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】(1)先分别求得成立时的取值范围,再根据题意求交集即可.(2)先求成立时满足的关于的范围,再根据是的充分不必要条件列出区间端点满足的关系式求解即可.【详解】（1）解：若成立,则,解得或.若成立,则得或.若和同时成立,则,解得或.∴的取值范围是或（2）解：若成立,则,即,∵由是的充分不必要条件,∴或,∵,∴,解得,∴的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了根据充分与必要条件等分析集合满足的关系,进而求得对应的参数的问题.属于中档题.19.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面，分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若与平面所成的角为，求线段的长.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由条件可知四边形为平行四边形（菱形），则与的交点为的中点，又为的中点，根据线面平行判定定理，问题可得证；（Ⅱ）由题意，通过计算证明可得，与平面所成的角为，且三角形是以为直角的直角三角形，从而可求线段的长.试题解析：（Ⅰ）连接交与，连接.因为为的中点，，所以.又因为，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，因为为的中点，所以.又因为，，所以平面.（Ⅱ）由四边形为平行四边形，知，所以等边三角形，所以，所以，即，即.因为平面，所以.又因为，所以平面，所以为与平面所成角，即， 所以.20.在所有棱长都相等的三棱柱中，.（1）证明：；（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)连,,取线段的中点,连接和,再证明平面即可.(2)根据(1)可知是二面角的平面角,进而找到与平面所成角再求解即可.或者建立空间直角坐标系,利用空间向量求解线面角的方法求解.【详解】（Ⅰ）连,,取线段的中点,连接和,∵和为等边三角形,∴,,又,∴平面,∴.（Ⅱ）法一：∵,, ∴是二面角的平面角,∵平面,∴平面平面,记与的交点为,过作于,则平面,∴是与平面所成角.由题意知为的重心,,∴,,∴,∴,∴.法二：由,以为轴,为轴,过点平面的垂线为轴,如图建立空间直角坐标系,得,,,,,,则,,,设平面的法向量,则,得,令得,,则.设与平面所成角为,,所以与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题主要考查了根据线面垂直证明线线垂直的方法,同时也考查了已知二面角求解线面角的问题,需要根据确定二面角与线面角的平面角,或直接根据空间直角坐标系中空间向量的方法进行求解.属于中档题.21.如图，已知抛物线：上一点，过点作直线交抛物线于另一点，点在线段上，在抛物线上，轴，于点.（1）若，求的最大值；（2）求使等式恒成立的直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)先求得直线的方程,再设坐标为,求得的解析式,再根据二次函数的值域方法求解最大值即可.(2)设,直线的方程为,联立直线与抛物线,根据弦长公式表达出的长度,再代入韦达定理化简求解即可.【详解】（1）由题意知直线的方程为, 因为在抛物线上,则点坐标为,则,因为在上的值域为,则的最大值为.（2）设,直线的方程为,联立方程组得,故知,,,又因为直线的方程为,则,从而有,即恒成立,即故知解得,所以直线的方程为.【点睛】本题主要考查了抛物线上的点到定直线距离的最值问题,同时也考查了抛物线中的弦长问题,需要根据题意联立直线与抛物线,利用弦长公式与韦达定理求解.同时也考查了恒成立的问题,需要根据解析式建立对应的系数等式,属于难题.22.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，圆上有一动点，在轴上方，点，直线交椭圆于点，连接，. （1）若，求的面积；（2）设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)设,根据可知,再代入利用椭圆的方程进行化简,进而求得对应的坐标.(2)法一：设,利用的坐标表达直线方程联立椭圆方程,再分别表示,关于的表达式,进而求得关于的表达式,利用在椭圆上满足的方程进行化简求解,最后再根据解析式求取值范围即可.法二：设直线为,同法一表达出对应的点与斜率,再列出关于的解析式求范围即可.【详解】（1）设,∵,∴,则,即,①∵点在椭圆上,∴,②联立①,②,消去,得,∵,∴代入椭圆方程,得,∴的面积.（2）法一：设,直线方程为,代入椭圆方程, 即,得,∵,∴,整理得.（注：消去,可得方程∵,也得8分）此方程有一根为-2,设,则.代入直线方程,得,则,,∵,∴,∵,,∴.法二：设直线为,点在圆上,所以,设,直线：与椭圆联立,得,化简得,得,代入直线方程,得,, 因为在轴上方,所以,,则,且,∵,∴.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,需要根据题意设方程,列出题目中需要求解的量与参数之间的解析式,从而根据函数的解析式与定义域,分析函数的取值范围即可.属于难题。