正弦定理(省参赛获奖课件).ppt

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1、正弦定理ABC3C2C1CBC的长度与角A的大小有关吗?三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系?在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:不难得到:CBAabc在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?AcbaCB正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即(1)若直角三角形,已证得结论成立.所以AD=csinB=bsinC,即同理可得DAcbCB图1过点A作AD⊥BC于D,此时有证法1:(2)若三角形是锐角三角形,如图1,由(1)(2)(3)知，结论成立．且仿(2)可得D(3)若三角形是钝角三角形,且

2、角C是钝角如图2,此时也有交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2＝＝（2R为△ABC外接圆直径）＝2R思考求证:证明：OC/cbaCBA作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,AcbCBDa向量法证法2:利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.证明：∵BACDabc而∴同理∴ha证法3:剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题：①已知两角和一边，求其他角和边.②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.定理的应用例1在△ABC中，已知c=10,A=45。,

3、C=30。求a,b(精确到0.01）.解：且∵∴b=19.32=已知两角和任意边，求其他两边和一角∵∴a=14.14=BACbca在△ABC中，已知A=75°，B=45°，c=求a，b.在△ABC中，已知A=30°，B=120°，b=12求a，c.[a=,c=][]练习例2已知a=16，b=，A=30°.求角B，C和边c已知两边和其中一边的对角,求其他边和角解：由正弦定理得所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°当时Ｂ＝60°C=90°C=30°当Ｂ＝120°时B16300ABC16316变式:a=30,b=26,A=30°求角

4、B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理得所以Ｂ＝25.70,或Ｂ＝1800－25.70=154.30由于154.30+300>1800故B只有一解　（如图）C=124.30,变式:a=30,b=26,A=30°求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理得所以Ｂ＝25.70,C=124.30,∵a>b∴A>B,三角形中大边对大角已知两边和其中一边的对角,求其他边和角1.根据下列条件解三角形(1)b=13，a=26，B=30°.[B=90°，C=60°，c=](2)b=40，c=20，C=45°.练习注：三

5、角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解无解课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：①已知两角和任意边，求其他两边和一角②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：＝2R已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?课后思考谢谢大家ACabab一解正弦定理的综合应用CBAPACBD实际问题例1、如图，

6、要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？想一想实例讲解AA1BCDC1D1分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：答：烟囱的高为29.9m.ABCDEABCDEBEDCBEDCA解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解。在

7、这个过程中，贯穿了数学建模的思想。这种思想即是从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。本节小结: