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1、3.1.1方程的根与函数的零点问题情境:(1)y=x2+2x-3与x2+2x-3=0(2)y=x2+2x+1与x2+2x+1=0(3)y=x2+2x+3与x2+2x+3=0问题1：下列二次函数的图象与x轴交点和相应方程的根有何关系？方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3
2、方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2问题2:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关系?结论:二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的
3、图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点函数零点的定义：等价关系观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:[－2,1]f(－2)>0f(1)<0f(－2)·f(1)<0（－2,1）x＝－1x2－2x－3＝0的一个根[2,4]f(2)<0f(4)>0f(2)·f(4)<0（2,4）x＝3x2－2x－3＝0的另一个根.....xy0－132112－1－2－3－4－24观察对数函数f(x)=lgx的图象:[0.5,1.5]f(0.5)<0f(1.5)>0f(0.5)·f(1.5)<0（0.5,1.5)x＝1lgx=0的一个根.xy0121...如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的
4、图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。xy0ab..结论例总结：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：（1）f(a)·f(b)<0函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点；（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点f(a)·f(b)<0。学生练习：P88-1由表3-1和图3.1—3可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区
5、间(2,3)内有零点。由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.1—3）－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例题1求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y241086121487643219判断方法：证明：利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=－x3－3x+5；（2）f(x)=2x·ln(x－2)－3；（3）f(x
6、)=ex－1+4x－4;（4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.课本P88练习2解：作出函数的图象，如下：因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0,所以f(x)=－x3－3x+5在区间(1,1.5)上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞）上的减函数，所以在区间(1,1.5)上有且只有一个零点。xy0－132112543f(x)=－x3－3x+5.....解：作出函数的图象，如下：....因为f(3)＝－3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)=2x·ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为f(x)=2x·ln(x－2)－3是(2，＋∞）
7、上的增函数，所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。xy0－1321125-3-24f(x)=2x·ln(x－2)－3解：作出函数的图象，如下：....因为f(0)≈－3.63<0,f(1)＝1>0,所以f(x)=ex－1+4x－4在区间(0,1)上有零点。又因为f(x)=ex－1+4x－4是(－∞，＋∞）上的增函数，所以在区间(0,1)上有且只有一个零点。f(x)=ex－1+4x－4xy0－132112－1－2－3－4－24解：作出函数的图象，如下：x0－80－1－55y24012043－
