课件2-3子群.ppt

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1、我们要介绍几种研究任何群都要用到的一般方法，这些方法都是利用一个群的子集来推测整个群的性质。本节我们将考虑这样一些有特殊性质的子集合.我们看一个群，假如由里取出一个子集，那么利用的乘法可以把的两个元相乘，对于这个乘法来说，可能作成一个群吗？§2.8子群9/19/202123:59定义1设是群，是的一个非空子集.是的一个子群。例1设是群,是的单位元，则以下两个子集是的子群吗？1.假如对于的乘法来说作成一个群，称2.平凡子群9/19/202123:59例2那么是的一个子群吗？例3设那么是的一个子群吗？9/19/202123:59子群

2、的性质：则作为中元素时在中的逆元.的单位元是的单位元,(1)中元素在中的逆元也是(2)证明(1)设是的单位元，则，由消去律，,则，.,在中(2)设在中的逆元记为的逆元记为由消去律定理1设是群,是的子群，9/19/202123:59判定子群的充要条件，有(ⅱ)，有(ⅰ)充分性：证明必要性：中结合律也成立,Ⅱ.中有结合律成立,所以Ⅴ.由(ⅱ),中每一个元素都有逆元.Ⅳ.由(ⅱ)，,有由(ⅰ)，定理2的一个子群一个群的一个非空子集作成是封闭的Ⅰ.由(ⅰ)，由子群定义及定理1，显然成立(ⅰ)(ⅱ)9/19/202123:59判定子群的充

3、要条件定理3设是群的非空子集,(ⅲ)，有证明由(ⅰ)得，..由(ⅱ)，得充分性：由(ⅲ)，，于是，,由(ⅲ)得，又,由刚证明得,的子群则是必要性:9/19/202123:59例3设例4例5H={数域F上的全体n阶满秩对角阵}H={数域F上的全体行列式等于1的n阶方阵}，有，有G={数域F上的全体n阶满秩阵}运算:普通矩阵乘法G={数域F上的全体n阶满秩阵}运算:普通矩阵乘法9/19/202123:59判定子群的充要条件(有限子集)，有证明必要性显然，下证充分性：(*).即由条件(*)，推出满足Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ′,对于Ⅱ,Ⅲ′,因为群满

4、足结合律与消去律，从而也满足结合律与消去律，注：这个定理，只要求H是有限集，并没有要求G是有限集.的子群定理4设是群的非空有限子集,则是显然成立，就满足条件Ⅰ（封闭性），(*)9/19/202123:59思考题：1.找出中的所有子群.2.证明任何群都不会是两个真子群的并.（反证法）9/19/202123:59