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1、第二章推理与证明内容结构“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般包括合情推理和演绎推理．在本章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。2.1合情推理与演绎推理本节知识结构2.1.1合情推理归纳推理歌德巴赫猜想的提出过程：3＋7＝10，3
2、＋17＝20，13＋17＝30，10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．偶数＝奇质数＋奇质数6＝3+3，⑴一个偶数（不小于6）总可以表示成两个奇质数之和；⑵没有发现反例。8＝3+5，10＝5+5，12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11，…，1000＝29+971，…归纳推理的定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。例如：金受热后体积膨胀，银受热后体
3、积膨胀，铜受热后体积膨胀，铁受热后体积膨胀，金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从而导致体积膨胀所以，所有的金属受热后都体积膨胀。例如：磨擦双手（S1）能产生热（P），敲击石头（S2）能产生热（P），锤击铁块（S3）能产生热（P），磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动；所以，物质运动能产生热。例:观察下图,可以发现1+3+…+(2n－1)=n2．1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，……归纳
4、推理的一般步骤：⑶检验猜想。⑵提出带有规律性的结论，即猜想；⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；类比推理“火星上是否有生命”由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．类比推理的定义:简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好的老师」数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.”类比推理的一般步骤：⑴找出两类对象之间可以确切表述
5、的相似特征；⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；⑶检验猜想。类比推理举例例3类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间 中四面体性质的猜想．直角三角形3个面两两垂直的四面体∠C＝90°3个边的长度a，b，c2条直角边a，b和1条斜边c∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4个面的面积S1，S2，S3和S3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S例3类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再
6、进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。合情推理的应用数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向1.复习:前面学习了归纳推理和类比推理这两种合情推理,归纳推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理．1.所有的金属都能导电,2.一切奇数都不能被2整除,4.全等的三角形面积相等所以铜能够导电.因为铜是金属,所以(2100+1)不能被2整除.因为(2100+
7、1)是奇数,那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等,3.三角函数都是周期函数,所以tan是周期函数因为tan是三角函数,2.判断下列推理是否是合情推理从一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法，称为演绎推理．注：１．演绎推理是由一般到特殊的推理；1.所有的金属都能导电,所以铜能够导电.因为铜是金属,2.三角函数都是周期函数,所以tan是周期函数因为tan是三角函数,大前提小前提结论大前提小前提结论２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小
8、前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断.2.三段论是演绎推理的一般模式,包括:(1)大前提已知的一般原理;(2)小前提所研究的特殊情况;(3)结论根据一般原理,对殊情况做出的判断.特M是P，S是M，所以，S是P。☆用集合论的观点看,三段论的依据是:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有
