函数值域求法大全.ppt

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1、函数值域方法汇总考点扫描：函数是高中数学重要的基础知识，高考试题中始终贯穿考查函数概念及其性质这一主线。特别是函数的三要素，反函数，函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性以及函数最值等有关性质已经成为高考经久不衰的命题热点，而且常考常新，根据对近年来高考试题的分析研究，函数综合问题呈现以下几个特点：1、考查函数概念、逻辑推理能力和必要的数学解题思想方法。2、考查抽象函数、发散思维能力以及解决函数综合问题的特殊思想方法如数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等。3、考查函数与不等式、数列、几何等知识

2、交叉渗透以及综合应用。4、考查以函数为模型的实际应用问题，培养学生的应用意识。这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法，下面就常见问题进行总结。求函数值域方法很多，常用方法有：（1）配方法（3）判别式法（2）换元法（4）不等式法（5）反函数法、（6）图像法（数形结合法）（7）函数的单调性法(导数）（8）均值不等式法例1求函数如图，∴y∈[-3/4,3/2].分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，可用配方法或

3、图像法求解。oxy-113/2-3/41/2例2求函数分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法求解。解法2：（函数的单调性法）是增函数，u取最小值时，y也取最小值。解法2：（函数的单调性法）∴原函数的值域为例3求函数的反函数的定义域.分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的值域，可用不等式法求解。解：变形可得∴反函数的定义域为(-1,1)。例4求下列函数的值域：(1)y=6x2-2x3,(0

4、析：均值不等式可以解决诸多特殊条件的函数值域问题，变形恰当，柳暗花明。(1)解：原函数可变形为：当且仅当x/2=3-x时，即x=2时取等号。故在0

5、的单调性采用换元法先求出外层函数的值域作为内层函数的定义域，然后求原函数的值域，要特别注意内层函数的定义域的取值范围。解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u∈〔-1,+∞),则y=2u≧2-1=1/2；故值域是y∈〔1/2,+∞).(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2,且u>0,故y=log1/2u的定义域为（0，2]上的减函数，即原函数值域的为y∈〔-1,+∞)。分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解;（2）可用单调有界性

6、解之。例7求下列函数的值域：解法1：不难看出y≥0,且可得定义域为3≤x≤5,原函数变形为：例7求下列函数的值域：由x∈[3,5]知，-x2+8x-15∈[0,1],即当x=4时，ymax=2，当x=3或5时，ymin=√2,故原函数的值域为[√2，2]。解法2：(判别式法).两边平方移项得:y2-2=2√(x-3)(5-x),再平方整理得4x2-32x+y4-4y2+64=0且y2-2≥0,y看成常数,方程有实根的条件是△=162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4)≥0,注意到y2>0得

7、y2-4≤0即0

8、值。分析：本题可转化采用圆的参数方程表达，利用三角函数的有界性解决或在二元二次方程的约束条件下，求x+y+4的线性规划。解法2（线性规划）∵x,y是圆C:(x-2)2+(y+3)2=2上的点，设x+y+4=z,则y=-x+(z-4),z-4可看作为直线L:x+y+4-z=0在y轴上的截距，作直线y=-x并平移，当直线L:x+y+4-z=0和圆C相切时，z-4有最大值和最小值。xyoC(2,-3)y=-x解法2（线性规划）∴(x+y+4)max=5(x+y