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1、向量数乘运算及其几何意义—、课前准备复习:⑴向量方的相反向量是指与方的向量,记作—.零向虽的相反向彊是⑵-(-a)=,a+(-a)=.(3)若a=-b贝0a>b是,且a+方=.⑷向量方加上庁的相反向量,叫做二、新课导学问题:已知非零向量方,作出:①a+a+a;②(一a)+(-a)+(-a).新知:我们规定实数2与向量方的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作:跖,它的长度和方向规定如下:⑴卩彳=
2、2
3、a;⑵当2>0吋,2方的方向与方的方向相同;当几<0时,Q方的方向与方的方向相反.思考:当2=0时,Q方的值是一
4、个向量还是一个实数?根据实数与向量的积的定义,我们有以下的运算律:(1)几(“0)=(兄“)0;(2)(2+=/La+“a;⑶久(°+可=/la+/l为.根据以上的运算律,填空:(1)(一几)0=—=2;(2)几(°一为)=一.例1计算:⑴(-7)x6方;(2)4(方+可一3(方一可一8方;(3)(5a-4h+cj-2(3d-2h+c).思考:引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?新知:向量方(46)与乙共线,当且仅当有唯一一个实数久,使门加.例2己知两个两个向量石和&不共线,殛=才-&,就
5、=2才-込,页=3石+3&,求证:A、B、D三点共线.变式:在四边形ABCD中,AB=a+2l)9BC=-4a-bfCD=-5a-3b,证明:ABCD是梯形.练1.计算:(l)6(a—为+可一4(a—2为+c)—2(—2为+c);(2)(加+町(幺一可一(加+“)(a+可.练2.[2知向量a,为不共线,问c=2a-b与d=3a-2忌是否共线?A・O・a2.在ABC中,1(-一込(小B.a+3bC.3aD.—!—e(x,yg/?,Hx*y)x_yE、F分别是AB、AC的中点,若AB=a,AC=b,则而等于(3.a=
6、竹+2幺2,b=3©-4冬,口弓、勺共线,则a与乙()A.共线'B.不共线'C.不确定D.可能共线也可能不共线4.若a=3,为与a的方向相反,口耳=5,贝Ud=b.5.已知a=e}-2e2,h=2e}+e2,c=6e}-2e2,贝a+bc(填共线、不共线).6.设勺,勺是两个不共线向量,若向帚活=弓+加2,与向量0=2弓-《2共线,则实数2的值为平面向量正交分解及坐标表示一、课前准备复习1:向量乙、^(^6)是共线的两个向量,则方、为之间的关系可以表示为.复习2:给定平面内任意两个向量玄、请同学们作出向量3»+2石
7、、2舀.“-/<2二、新课导学问题:在复习2中,请大家想一想,平而内的任一向量是否都可以用形如人才+入云的向量表示呢?如下图,设云、石是同一平而内两个不共线的向量,方是这一平而内的任一向量,通过作图,发现任一向量方都可以表示成入竹+入勺•新知1:平面向量基本定理平面向量基本定理:如果石、石是同一平而内两个不共线的向量,那么对于这一平而内的任意向量方,有且只有一对实数人、人,使a=ex4-Aje2.其中,我们把不共线的向量石、云叫做表示这一平而内所有向量的一•组基底.理解此定理要注意:①云、&是同一平而内两个不共线
8、的向量;②该平而内的任意向量方都可以用石、石线性表示,且这种表示是唯一的;③对于基底的选収不唯一,只要是同一平而内的两个不共线向量都可以作为基底.思考:如果两个向彊不共线,则它们的位置关系我们怎么表示呢?新知2:两向量的夹角与垂直如图,己知两个非零向量方和厦作OA=a,OB=b,则ZAOB=0(O<09、量分解成两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解•例如把图中木块所受的重力分解为向下的力斥和对斜而的压力佗.思考:平而宜角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示.对-于直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?新知3:向量的坐标表示如图,根据平而向量基本定理,有且只有一对实数兀、y使得方我们把有序数对(x,y)叫做向量方的坐标,记作:a=(x,y),其中x叫做a在兀轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.'注意:符号(x,y)在平面直角坐标系中有了双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量,为
10、了加以区别,在叙述中,常说点(兀,y),或向量(兀,y)..:例1.己知梯形ABCD中,AB//DC,旦-AB=2CD,E、F分别是DC、AB的中点,设AD=a,>;:AB=b.试用aji为基底衣示DC.BC.°*例2.己知0是坐标原点,点A在第一像限,
11、鬲
12、=475,厶04=60°,求向量莎的坐标.练.在矩形ABCD中,AC与BD交于点0,若BC=5^,D