向量数乘运算及其几何意义.doc

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1、向量数乘运算及其几何意义—、课前准备复习：⑴向量方的相反向量是指与方的向量，记作—.零向虽的相反向彊是⑵-(-a)=,a+(-a)=.(3)若a=-b贝0a>b是,且a+方=.⑷向量方加上庁的相反向量，叫做二、新课导学问题：已知非零向量方,作出：①a+a+a；②(一a)+(-a)+(-a).新知：我们规定实数2与向量方的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：跖，它的长度和方向规定如下：⑴卩彳=

2、2

3、a；⑵当2>0吋，2方的方向与方的方向相同；当几<0时，Q方的方向与方的方向相反.思考：当2=0时，Q方的值是一

4、个向量还是一个实数？根据实数与向量的积的定义，我们有以下的运算律：(1)几(“0)=(兄“)0；(2)(2+=/La+“a；⑶久(°+可=/la+/l为.根据以上的运算律，填空：(1)(一几)0=—=2；(2)几(°一为)=一.例1计算:⑴(-7)x6方；(2)4(方+可一3(方一可一8方;(3)(5a-4h+cj-2(3d-2h+c).思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？新知：向量方(46)与乙共线，当且仅当有唯一一个实数久，使门加.例2己知两个两个向量石和&不共线，殛=才-&,就

5、=2才-込，页=3石+3&,求证：A、B、D三点共线.变式：在四边形ABCD中，AB=a+2l)9BC=-4a-bfCD=-5a-3b,证明：ABCD是梯形.练1.计算：(l)6(a—为+可一4(a—2为+c)—2(—2为+c)；(2)(加+町(幺一可一(加+“)(a+可.练2.[2知向量a,为不共线，问c=2a-b与d=3a-2忌是否共线?A・O・a2.在ABC中,1（-一込（小B.a+3bC.3aD.—!—e(x,yg/?,Hx*y)x_yE、F分别是AB、AC的中点，若AB=a,AC=b,则而等于(3.a=

6、竹+2幺2，b=3©-4冬，口弓、勺共线，则a与乙（）A.共线'B.不共线'C.不确定D.可能共线也可能不共线4.若a=3,为与a的方向相反，口耳=5,贝Ud=b.5.已知a=e}-2e2,h=2e}+e2,c=6e}-2e2,贝a+bc（填共线、不共线）.6.设勺,勺是两个不共线向量，若向帚活=弓+加2，与向量0=2弓-《2共线，则实数2的值为平面向量正交分解及坐标表示一、课前准备复习1：向量乙、^（^6）是共线的两个向量，则方、为之间的关系可以表示为.复习2：给定平面内任意两个向量玄、请同学们作出向量3»+2石

7、、2舀.“-/<2二、新课导学问题：在复习2中，请大家想一想，平而内的任一向量是否都可以用形如人才+入云的向量表示呢？如下图，设云、石是同一平而内两个不共线的向量，方是这一平而内的任一向量，通过作图，发现任一向量方都可以表示成入竹+入勺•新知1：平面向量基本定理平面向量基本定理：如果石、石是同一平而内两个不共线的向量，那么对于这一平而内的任意向量方，有且只有一对实数人、人，使a=ex4-Aje2.其中，我们把不共线的向量石、云叫做表示这一平而内所有向量的一•组基底.理解此定理要注意：①云、&是同一平而内两个不共线

8、的向量；②该平而内的任意向量方都可以用石、石线性表示，且这种表示是唯一的；③对于基底的选収不唯一，只要是同一平而内的两个不共线向量都可以作为基底.思考：如果两个向彊不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？新知2：两向量的夹角与垂直如图，己知两个非零向量方和厦作OA=a,OB=b,则ZAOB=0（O<0

9、量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解•例如把图中木块所受的重力分解为向下的力斥和对斜而的压力佗.思考：平而宜角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.对-于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？新知3：向量的坐标表示如图，根据平而向量基本定理，有且只有一对实数兀、y使得方我们把有序数对（x,y）叫做向量方的坐标，记作：a=（x,y）,其中x叫做a在兀轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.'注意：符号（x,y）在平面直角坐标系中有了双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为

10、了加以区别，在叙述中，常说点（兀,y）,或向量（兀,y）..:例1.己知梯形ABCD中，AB//DC,旦-AB=2CD,E、F分别是DC、AB的中点，设AD=a,>；：AB=b.试用aji为基底衣示DC.BC.°*例2.己知0是坐标原点，点A在第一像限，

11、鬲

12、=475,厶04=60°,求向量莎的坐标.练.在矩形ABCD中，AC与BD交于点0,若BC=5^,D