自动控制原理简明教程2.ppt

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1、第二章控制系统的数学模型§2.1控制系统的时域数学模型§2.2控制系统的复域数学模型§2.3控制系统的结构图及其等效变换§2.4信号流图及梅逊公式控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式，它是在系统分析和设计中首先要做的工作。建立控制系统数学模型的方法有两种：机理分析法和实验辨识法。依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导来得到数学模型的方法。机理分析法实验辨识法给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。这种方法也称为系统辨识。数学模型有多种

2、形式，常用的有：微分方程（连续系统）、差分方程（离散系统）及状态方程等。本章主要研究：微分方程、传递函数、方框图和信号流图。线性定常系统微分方程的一般形式§2.1控制系统的时域数学模型本节着重研究描述线性、定常、集中参数控制系统微分方程的建立和求解方法。§2.1.1线性元部件及系统的微分方程例：RLC串连电路，试列写以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程。解：例：机械位移系统如图。试列写质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。Fy(t)kfm整理得:阻尼器的阻尼力：弹簧弹性力：解：电磁力矩

3、：—安培定律电枢反电势：—楞次定律电枢回路：—克希霍夫力矩平衡：—牛顿定律电机时间常数电机传递系数消去中间变量i,Mm,Eb可得：例：电枢控制的他励直流电动机如图，试列写其微分方程。解：微分方程的列写步骤1）全面分析系统的结构组成及工作原理，确定系统的输入、输出变量。2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程；3）将所有微分方程联立起来，消去中间变量，求得一个仅含系统的输入、输出变量的微分方程。4）整理方程，使得与输入有关的项在方程的右边，与输出有关的项在方程的左边，且各导

4、数项按降幂排列。非线性系统：用非线性微分方程描述。线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。线性系统：用线性微分方程描述。线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是随时间而变化的。§2.1.2微分方程的类型小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。一、假设：x,y在平衡点（x0,y0)附近变化，即x=x0+△x,y=y0+△y二、近似处理略去高阶无穷小项严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以

5、用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。三、数学方法§2.1.3非线性微分方程的线性化取一次近似，且令即有解：在工作点(x0,y0)处展开台劳级数例：已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。微分方程求解方法§2.1.4线性定常微分方程的求解求解方法：经典法、拉氏变换法。R1C1i1(t)ur(t)uc(t)例：已知R1=1Ω，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求uc(t)1.考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；2.求出输出量拉氏变换函数

6、的表达式；3.对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。解：拉氏变换法求解步骤：§2.1.5运动的模态线性微分方程解的组成：特解+齐次微分方程的通解通解由微分方程的特征根决定，它代表自由运动特征根是λ1、λ2、‥λn且无重根，则函数称为该微分方程所描述运动的模态（也叫振型）每一种模态代表一种类型的运动形态，齐次微分方程的通解是它们的线性组合其中是由初始条件决定的常数特征方程传递函数是在拉氏变换基础上引申出来的复数域数学模型。传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究

7、系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频域法，就是以传递函数为基础建立起来的。因此，传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的数学模型。§2.2控制系统的复域数学模型§2.2.1传递函数的定义和性质线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数。线性定常系统的微分方程一般可写为在零初始条件下对上式两端进行拉氏变换，可得相应的代数方程传递函数1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子多项式的次数m低于或等于分母多项的次数n，所有系数均为实数；

8、2)传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与输入信号无关；3)传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换；4)传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应;5)传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态特性；零初始条件含义要明确。传递函数的性质原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；适合于描述单输入/单输出系统；只能用于表示线性定常系统。传递函数的局限性传递函数分子多项式与分母多项式经