2、^可得到该数列的一个特征方程：x2-2x-3=0,则”Xti+2x=l或・3；贝山匕*厂3=纸上!・3=卫二！，①LY+2Y+2Y-(-1)=%+3-(-1)=5兀“+5②¥+2r+2人n人n两式子相除可得：r二护工=1x2,又因为兀出+15乙+55乙+1心二三=__L,所以数列｛2｝是以」为首项，丄为公比的兀+52+13兀?+135等比数列，如二=-*［亏〕,则求出兀”=3x5'i+1=3即兀,+133x5+1可。这道题的第一问这里不重点说明；第二个问题在解答的时候答案上用到的数列特征方程的方法，使解题游刃
3、而解。我觉得实质上它就是函数的“不动点法”的具体体现。那么什么是不动点法呢？它的定义为：若满足方程f(Xo>=Xo则称血是函数f(Jto)的一个不动点。利用递推数列f(n)的不动点，可将某些由递推关系a=f(a,_,)所确定的数列转化为较易求通项的数列，这种方法称为不动点法。这种方法在求等比数列或等差数列的时候很方便，很有实用。现在通过奥林匹克的进一步学习，我对用不动点法解题也更熟悉一点。下面我举出中学中比较常见的两种递推数列用不动点解题的一般步骤。结论1：若f(x)=ax^-b(arO,ar1),(3是/(
4、兀)的不动点，数列｛偽｝满足递推关系a,=f(a,^1),则久邛，(心书)，即&-0｝是以0厂B为首项，以o为公比的等比数列。这个结论的证明如下:因为0是/(x)的不动点，则aB+b邙,b-—ap,由a,.=f(a„-)=,得©厂p=a.g+b-^=a.a”厂ap=。(弘厂p),所以其结论成立。这种解法在解很多数列中都能用到。例如：已知数12列｛%｝屮，di"，久+广一§久+「求久。如果对上而的结论较为熟悉的话，很明显就可以看出这道题可以用不动点法解答。解析：令a^=a,=^则求出方程的不动点为x=则利
5、用上面结论的步骤，即aI一丄=一丄a一丄)，所以ax,即VV/I+1233232s〃22(3an+丄;这样就解答出了久⑴满足递推关系a,=f(aJ结论2：设/（兀）="'（C工0,加-beH0）,cx+d(n>1)，且°严/仏)，⑴若/&)有两个相异的不动点P、q，则$二=£鱼4，其中a「q久一1_9⑵若于⑴只有唯一不动点p,则一I—=―1—+ka厂卩%厂pa+da-pc其中这两个小结论可以通过例题的实际计算得到证明。例题仁如2012年全国数学卷上的那道题，利用不动点法进行解题的过程就是⑴的实际应用，但是这道
6、题是高考试卷中的压轴题，对于参加高考的学生來说是有一定难度的,如果平吋没有遇到或训练过这类题目,是很难解答的；例题2:已知数列｛°｝中，a=-,a=2---(n>2),”5”a„-i32009*5*2008D鶉,刚开始看到这道题，我觉得它只是一道选择题，没有必要像解大题一样去解答，我选择的方法是归纳猜想，因为a=~,则°广丄,357财-1,么芍，弘弓£••・算出后面的若干项，可以看出从第四项开始久的分子都比分母大二，而答案选项屮只有D答案是这样的情况，所以就选择了D。答案是正确的，但其实这道题也可以用上面的结
7、论去解答。另an,可求出唯一的不动点为"1,则Z-l=2-丄-1,即久厂1二鱼匸1,两边取倒数得：则数列｛—1—｝是以a厂'］二］=5e-12_
8、2为首项，以1为公差的等差数列。则5则a„=止确答案。2〃—52/1-7'所以0200广40114009不动点法其实是通过构造新的等比或等差数列，使得问题简单化且思路明显。在高屮三年纪的总复习过程屮，经常在模拟题或复习资料中出现一些这样的求数列的通项的问题，这类题冃与课本上的等比或等差数列有一定的差别，超出于教材之外，但又与所学数列知识紧密相连，能够较高水平地考查学
9、生的逻辑思维与分析问题的能力，因此它常被命题者命进平吋考试试题甚至高考题中。所以在高中的吋候老师也给我们找了很多这样类型的题来进行相应的题型训练。而在中学奥林匹克这门课的课堂上我又进一步学习了它。这门课学习的不动点是在屮学的学习上进一步升华，使不动点的适用范围扩展到复数。它也不仅仅只适合于求递推数列的通项，也适用于很多其他方面，这里就不再赘述。用不动点法解答的题型一般有选择题，解答题；但同时它也用于
