专题二 数列求和的方法.ppt

《专题二 数列求和的方法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、数列的求和专题二：考纲要求掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法，并能灵活的运用这些方法解决相应问题.知识梳理一.公式法：①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n项和公式③④⑤⑥2+4+6+…+2n=；⑦1+3+5+…+（2n+1）=；n2+n(n+1)2二、错位相减法求和:例如是等差数列，是等比数列，求a1b1＋a2b2＋…＋anbn的和．三、分组求和:把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和．四、并项求和:

2、例如求1002－992＋982－972＋…＋22－12的和．五、裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消，剩下首尾若干项．六、倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.七、归纳猜想法：先通过归纳猜想和的表达式，再使用数学归纳法等正面证明。八、奇偶法:通过分组，对n分奇偶讨论求和十、周期转化法如果一个数列具有周期性，那么只要求出了数列在一个周期内各项的和，就可以利用这个和与周期的性质对数列的前

3、n项和进行转化合并．九、通项分析求和法：例1：求和：10看通项，是什么数列，用哪个公式；20注意项数例2：运用倒序相加法倒序相加法如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……已知数列1,3a,5a2，…，(2n－1)an－1，(a≠0)，求其前n项和．例3.注意对a的讨论例3.已知数列1,3a,5a2，…，(2n－1)an－1(a≠0)，求其前n项和．思路分析：已

4、知数列各项是等差数列1,3,5，…，2n－1与等比数列a0，a，a2，…，an－1对应项的积，可用错位相减法求和．解析：设Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－1)an－1①①×a得，aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an②①－②：(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an.当a＝1时，Sn＝n2.点评：若数列{an}，{bn}分别是等差、等比数列，则求数列{anbn}的前n项和的方法就是用错位相减法．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.既

5、{anbn}型等差等比变式探究1：1.设数列满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求数列的通项；(2)设bn＝，求数列的前n项和Sn.变式探究2：1．设数列满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1＝，a∈N*.(1)求数列的通项；(2)设bn＝，求数列的前n项和Sn.解析：(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①(2)bn＝n·3n，Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1两式相减，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n

6、＋1，裂项求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）1．特别是对于，其中是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用(其中d＝an＋1－an)．常见的拆项公式有：例4：1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？局部重组转化为常见数列并项求和练习：已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+……+（-

7、37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）=20=-21（2）Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1)练习：求和Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+……+(1+2+22+……+2n-1)通项分析求和通项=2n-1先求通项再处理通项提示：运用周期性质练习：练习：3．求数列1,3＋，32＋，…，3n＋的各项的和．练习：4.在等差数列中，a1＝3，d＝2，Sn是其前n项的和，求：S＝.练习：1．要求数列的前n项和，关键是抽取出其通项来加以分析，根据数列的通项的结构特点去选择适当的

8、方法．2．等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．3．数列求和是数列的一个重要内容，其实质是将多项式