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1、反思使人聪明刘新春喜爱足球的同学都知道屮国足球队与徳国足球队的水平羌异，为什么大家都在天天训练，而效果相差如此Z大？原因很多，重要原因Z—可能是屮国队用“脚踢球”，徳国队用“头顶球”。换句话说，徳国队是用大脑、用智慧踢球，因而水平高。高三数学复习也是一样，不仅是需要适当的机械重复的解题训练，更要不断反思，用智慧叩开数学大门。学习数学的过稈就是思考的过程，思考贯穿于整个数学学习过程屮，学习数学贵在思考。思考什么？有句话叫“处处留心皆学问”，我们把它改成“处处思考即学问”也有几分道理。数学思考的核心是寻找、发现
2、、获得数学的规律，而基础的数学思考则是要思考数学知识的形成过稈：一个数学概念是如何产生形成的，一个数学定理、公式是如何发现证明的，一系列数学运算法则为什么要这样规泄；一个数学问题的解决方法是如何想到的，多个解法Z间具有怎样的联系，一个错误的解法是否含有“创造”的火花，如何进行解后反思，一些重要的数学思想方法是如何产生的；为什么有的同学数学学习成绩优秀，他是如何学习数学的。数学充满问题，如何通过思考发现问题，分析问题，解决问题，最终提高
3、'
4、己的数学能力。%1.反思使数学知识更加鲜活数学知识是由概念、定理、公
5、式、法则、结论等内容构成的，由于高屮数学知识点多,形式复杂，层次要求各不相同，因此第一•轮复习时一•般是师生共同进行知识的罗列梳理，大多数知识点往往停留在识记阶段，既不理解备知识点的原理、木质规律及其应用，也不熟悉各个知识点相互Z间具有怎样的联系。只有通过反思解题过稈，冋归数学知识，总结内在规律，对数学知识形成新层次的理解，螺旋式地提高数学能力。例如，余弦定理是解三角形的重要丁•具，但我们在第一轮复习中可能只知道它的两种表>22_2示形式：a2=h2+c2-2bccosA或cos4=―，随着复习的深入，我们
6、逐渐接2bc近定理的木质。定理揭示了任意三角形的三边与其屮一角的余弦值的等量关系，它的直接应用是已知三角形的两边及其夹角求第三边，或已知三边求某一角。在实际应用中，我们还发现已知两边和其屮一边对角，求第三边既可以用正弦定理求解，同样也可以用余弦定理借助方程思想，求解关于第三边的一元二次方程c2-（2bcosA）c+b2-a2=0即可。当我们复习了命题与逻辑以后，我们还会反思余弦定理的逆定理是什么？是否也成立？即：对于正实数a,b,c及（0,龙），若有/=b2+c2-2bccosA，则a,b,c对应的线段构成
7、一个三角形,且0为b,c边的夹角（请自行尝试证明）。同样当我们复习了向量的数量积后，从向量数量.799积的角度思考余弦定理，可得到新的表示形式乔応=亠产。但此形式再称Z为余弦定理似乎名不符实，若要将正弦定理和余弦定理联系在一起思考，将边川对应角的正弦表示，又可得到等式：sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCeosA,这一形式揭示了任意三角形的三个内角Z间的等量关系，且关于三角形三个内角的三角函数等量关系有无数个,上述关于余弦定理的各种表达形式就是我们学习数学的过程屮不断总结反思的结果。反过来
8、又能指导我们更灵活快捷地解决新问题。%1.反思使解题思路更加灵活尝试用多种方法解决同一问题是训练数学能力的重要途径。还是以余弦定理的证明为例。余弦定理的证明方法很多，源于我们对余弦定理的不断反思：（1）已知三角形的两边及其夹角，则三角形就完全确定。如何证明余弦定理，联想向量的数量积定义和向量运算的三角形法则。BC=AC-AB再运用数量积知识将向量问■2‘•c2■2■■题数量化，即得BC=(AC-AB)2=AC+AB-2ACABcosA,即a2=b2+c2-2bccosA。（2）反思余弦定理的形式，发现含有余
9、弦函数值，联想三角函数定义，把三角形标在坐标系屮思考，可得AC=b,AB=c,建立如图所示的直角坐标系，设C(/?,0),B(ccosA,csinA)则BC2=(ccosA-/7)2+(csinX-0)2=c2cos2A-2/?ccosA+/?2+c2sin2A=b2+c2-2bccosA即/=b2+c2-2bccosA(3)还可以从向量数量积的坐标形式思考证法：以A点为原点建立直角坐标系，记三角形乞顶点坐标为＞4（0,0）,8（不」），Cg,"），由向星数星积公式:cosZB/4C=ABAC~ABAC小2
10、+（X：+）f）+（X；+）舟）一[（兀]一兀2）2+（）']一）‘2）2]c2+b2-a22bc变形即得/=b2+c2-2bccosA（4）学过正弦定理容易想到能否用正弦泄理证明余弦定理？尝试：设一^-=-^―=-^―=2R,可得a=2RsAf/?=2/?sinB,c=2/?sinC,从sinAsinBsinCa2=4R2sin2A=4R2sin2(B+C)而=4/?2(sin?Bcos2C+cos2Bsi
