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1、《线性代数》电子教案第四章第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算一.n维向量的概念n维向量本质表现形式几何背景n个数a1,a2,…,an构成的有序数组向量/点的坐标列矩阵行矩阵行向量列向量分量n维向量的定义一一对应第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算注意：这里的“维”只是沿用一些几何术语，不一定有确定的几何形象（n＞3时）。二.n维向量空间的概念把n维向量的全体所组成的集合称为n维向量空间。三.向量组的概念若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组。第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算用向量组表示矩
2、阵用行向量组表示用列向量组表示第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算用矩阵表示向量组已知m个n维行向量，可用矩阵表示成m×n的矩阵第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算用矩阵表示向量组已知m个n维列向量，可用矩阵表示成n×m的矩阵显然，含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算与矩阵的线性运算相同——都是对应分量的线性运算四.n维向量的线性运算第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算五.n维向量的线性运算性质与矩阵的线性运算性质相同第四章向量组的线性相关性§4.1.1n
3、维向量及其运算n维向量:1,2,…,s六.线性组合和线性表示常数:k1,k2,…,ks线性组合:k11+k22+…+kss=k11+k22+…+kss对n维向量，若存在常数:k1,k2,…,ks使得则称能由向量组1,2,…,s线性表示.或称能由向量组1,2,…,s生成.注意：这里没有强调常数全不为零§4.1.1n维向量及其运算例1.n维基本单位向量组1=100…,2=010…,n=001….…,第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算任何一个n维向量=a1a2an…都能由1,2,…,n线性表示
4、.=a1100…+a2010…+…+an001….事实上,第四章向量组的线性相关性§4.1.1n维向量及其运算A=(1,2,…,s)=b1b2bn…,已知能由1,2,…,s线性表示第四章向量组的线性相关性a11a12…a1sa21a22…a2s…………an1an2…ans=线性组合与线性方程组的关系§4.1.1n维向量及其运算第四章向量组的线性相关性根据线性表示的定义，必然有常数:x1,x2,…,xs使得=x11+x22+…+xss注意：按照定义，向量相等的实质上就是各对应分量相等，则上式等价于线性方程组§4.1.1n维向量及其运
5、算第四章向量组的线性相关性写成矩阵形式为Ax=bx=x1x2xs…其中A=(1,2,…,s)a11a12…a1sa21a22…a2s…………an1an2…ans=§4.1.1n维向量及其运算能由1,2,…,s线性表示方程组Ax=有解.第四章向量组的线性相关性根据线性组合的定义，常数x1,x2,…,xs必然存在，因此线性方程组Ax=b必然有解。故：由此，我们有理由推测向量的线性表示问题与线性方程组解的问题有更深入的联系。§4.1.2向量组之间的关系§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性能由线性表示,例如:2030,1001,但
6、2030不能由线性表示.,1001,定义：设有两个同维向量组A:a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl,如果B中每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。注意：向量组B能由向量组A线性表示方程AX=B有解.1.向量组的线性表示矩阵的乘积Cmn=AmsBsn,=行向量i=ai11+ai22+…+aiss,i=1,2,…,m.列向量j=b1j1+b2j2+…+bsjs,j=1,2,…,n,向量组的线性表示:§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性2.向量组的线性表示与矩阵乘积简记为A:1,
7、2,…,s,C:1,2,…,n.若j=b1j1+b2j2+…+bsjs,j=1,2,…,n,即=12n12s§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性列向量组C能由A线性表示简记为B:1,2,…,s,C:1,2,…,m.若i=ai11+ai22+…+aiss,i=1,2,…,m,即B:C:=12s§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性12m行向量组C能由B线性表示§4.1.2向量组之间的关系第四章向量组的线性相关性思考由于向量组可以用矩阵表示，而向量组B由A线性表示的实质是
8、B中的每一个向量都可以用A中的向量通过线性运算得到，因此向量组线性
