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《初中数学竞赛精品标准教程及练习58：观察法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(58)观察法一、内容提要数学题可以猜测它的结论(包括经验归纳法)，但祁要经过严谨的论证，才能确定是否正确.观察是思维的起点，直觉是正确思维的基础.观察法解题就是用清晰的概念，氏觉的思维，根据题型的特点，得出题解或猜测其结论,再加以论证.敏锐的洞察力来白对概念明晰的理解和熟练的掌握.例如：用观察法写出方程的解，必须明确方程的解的定义，掌握方程的解与方程的系数这间的关系.一元方程备系数的和等于零时，必有一个解是1;而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时，则有一个根是一1;n次方稈有n个根，这
2、样才能判断是否已求出全部的根,当根的个数超过方程次数时，可判定它是恒等式.对题型的特点的观察一般是注意已知数据，式子或图形的特征，分析题设与结论，己知与未知这间的联系，再联想学过的定理，公式，类比所做过的题型，试验以简单的特例推导一般的结论，并探求特殊的解法.选择题和填空题可不写解题步骤，用观察法解答更能显出优势.二例题例1.解方程:x+—=a+—.xa解：方程去分母后，是二次的整式方程，所以最多只有两个实数根.根据方程解的定义，易知x=a；或x二丄.a观察本题的特点是：左边X•丄=1,右边a-=l.(常数1相同).
3、%a可推广到：若方程z皆碍20),则f(x)=a；f(x)=一・a如：方程x?+2二/+二，兀_a'都可以用上述方法解.例2.分解因式a3+b3+c3—3abc.分析：观察题目的特点，它是a,x?+3x_J-厂+3x8(V8=10-—).10b,若有一次因式，最可能的是a+b+c；若有因式a+b,必有b+c,c+a；c的齐三次对称式.若有因式a+b—c,必有b+c—a,c+a—b；若有因式b—c,必有c—a,a—b.解：：•用a=—b—c代入原式的值为零，有因式a+b+c.故可设a?+b3+c3—3abc=(a+b+
4、c)[m(a2+b2+c2)+n(ab+bc+ca)].比较左右两边a3的系数，得m=l,比较abc的系数，得n=—1.例3.解方程22399?Aa+b+c^—3abc=(a+b+c)(a_+tr+L—ab—be—ca)分析：观察题目的特点猜想V3+I=x用自身迭代验证:解：丁x=丁3+兀,可化为x'―x—3=0,.l±V13••X—2经检验呼是增根.•••原方程只有-个实数根皆呼例4.求证:(x一/?)(x-c)(x-c)(x一a)(x一a)(x—b)(a-b)(a-c)(b—c)(b—a)(c-a)(c-b)证明
5、：把等式看作是关于x的二次方程，最多只有两个实数根；但x=a,x=b,x=c,都能使等式成立，且知“HbHc,这样，方稈就有三个解；・・•方程的解的个数，超过了方稈的次数.・・・原等式是恒等式.证毕.例5.选择题(只有一个正确的答案)1.四边形ABCD内接于圆，边长依次为25,39,52,60,那么这个圆的肓径长等于()(A)66.(B)65.(C)63.(D)62.V25:60:65=5：12：13；39：52：65=3：4：5都是勾股数.・••直径等于65,故选(B)AF)An2•观察相似比可以是——或——•设A
6、P为x,BC~~解得：x=2.8,PB或x=6.共有三解.nl2xr2x贝g—=—；或—=—37-x7-x3故选(C).x=1,2.育角梯形ABCD的垂腰AB=7,两底AD=2,BC=3,如果边AB±的一点P,使得以P,A,D为顶点的三角形和以P,B,C为顶点的三角形相似.这样的点P有几个？答：()(A)1个.解：1.选(B)；(B)2个.(C)3个.(D)4个.2.选(C).1.观察数字的特征:三、练习58一.填空题1.三角形的三边长分别为192,256,320.则最大角等于_度.2.化简48(72+1)(74+1
7、)(7*+1)……(7"+1)+1=.3.方程x2-(4+V3)x+3+V3=0的两个解是.4.方程x3+2x2+3x+2=0的实数根是.c15.方程J
8、*2+』2_卜
9、+「+_二0的实数解是x226.若x,y为实数且x+y=a,xy=b,则x2+y2=.7.+2〔+2+2、=2的解是8.写出因式分解的结果：©x3-7x2+36=.②(a+b_c)‘—(a?+b3+c3)=.9.方程(a-x)3+(b-x)3=(a+b-2x)3的三个解是2y=x+2z=17y+—10・方程组〈的实数解是:vv=17z11•有一个五位
10、正奇数x,将x的所有2都换成5,所有5都换成2,其他的数字不变,得到一个新五位数记作y,若x,y满足等式y=2(x+l),那么x是如左图试问至少要用几种颜色，才能给图屮的各边正常着色.(正常着色是指使图屮有公共顶点的相邻的边涂上不同的颜色)%1.选择题(只有一个正确的答案)1.四边形的边a,b,c,d,满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd
