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《初中数学竞赛精品标准教程及练习58()：观察法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、初屮数学竞赛精品标准教程及练习(58)观察法一、内容提要数学题可以猎测它的结论(包括经验归纳法)，但都要经过严谨的论证，才能确定是否正确.观察是思维的起点，宜觉是正确思维的基础.观察法解题就是用清晰的概念，直觉的思维，根据题型的特点，得出题解或猜测其结论,再加以论证.敏锐的洞察力來自对概念明晰的理解和熟练的掌握.例如：川观察法写出方程的解，必须明确方程的解的定义，掌握方程的解与方程的系数这间的关系•一•元方程各系数的和等于零吋，必有一个解是1;而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时，则冇一个根是一1;n次方程冇n个根，这样才能判断是否已求出全部的根,当根的个数超过方程次数时，可判定它是恒等
2、式.对题型的特点的观察一般是注意已知数据，式子或图形的特征，分析题设与结论，已知与耒知这间的联系，再联想学过的定理，公式，类比所做过的题型，试验以简单的特例推导一般的结论，并探求特殊的解法.选择题和填空题可不写解题步骤，用观察法解答更能显出优势.二、例题例1.解方程:x+—=a+—・xa解：方程去分母后，是二次的整式方程，所以最多只有两个实数根.根据方程解的定义，易知x=a；或x=-.a观察本题的特点是：左边x•丄=1,右边a-=l.(常数1相同).兀ajritri可推广到：若方程3+帀之+万(T),则f(x)=a；如：方程x2+-^-=tz2+2x~a都nJ以用上述方法解.例2.分解因
3、式a’+b'+c'—3abc.分析：观察题目的特点，它是a,b,若有一次因式，最可能的是a+b+c；若冇因式a+b,必冇b+c,c+a；mf(x)=—.a.20o20x~+3x——=8(・8=10——).x2+3x10c的齐三次对称式.若有因式a+b—c,必有b+c—a,c+a—b若冇因式b—c,必冇c—a,a—b.解：T用a=—b—c代入原式的值为零，二有因式a+b+c.故可设a3+b3+c3—3abc=(a+b+c)[m(a2+b2+c2)+n(ab+bc+ca)].比较左右两边J的系数，得m=l,比较abc的系数，得n=-l.a3+b'"+c3—3abc=(a+b+c)(ci2+b
4、2+c2—ab—be—ca)例3.解方程J3+J3+J3+J3+X=x.分析：观察题目的特点猜想V3+x=x用自身迭代验证:经检验呼是增根..1±后…x=2•••原方程只冇-个实数根晴呼例4甸活活+卅為汙泾"证明：把等式看作是关于X的二次方程，最多只有两个实数根；但x=a,x=b,x=c,都能使等式成立，fl知aHbHc,这样，方程就有三个解；・・•方程的解的个数，超过了方程的次数.・・.原等式是恒等式.证毕.例5.选择题(只有一个正确的答案)1.四边形ABCD内接于圆，边长依次为25,39,52,60,那么这个圆的宜径长等于()(A)66.(B)65.(C)63.(D)62.2.直角梯
5、形ABCD的垂腰AB=7,两底AD=2,BC=3,如果边AB±的一点P,使得以P,A,D为顶点的三角形和以P,B,C为顶点的三角形相似.这样的点P冇几个？答：()(A)1个.(B)2个.(C)3个.(D)4个.解：1.选(B)；2.选(C).1.观察数字的特征：V25:60:65=5：12：13；39：52：65=3：4：5都是勾股数.AF)AF)2•观察相似比可以是——或——・设AP为x,BC■-X—19解得：x=2.8,PB或x=6.则-=-^；或-^—=-31-x7-x3共有三解.故选(C).⑴・••直径等于65,故选(B)三、练习58一.填空题1.三角形的三边长分别为192,25
6、6,32().则最人角等于度.2.化简48(72+1)(7%1)(78+1)……(7"+1)+1=.3.方程x2-(4+V3)x+3+V3=0的两个解是4.方程x+2x2+3x+2=0的实数根是.5.方程J卜卜2+』2_卜
7、+^^+*二0的实数解是6.若x,y为实数且x+y=a,xy=b,则x2+y2=.7.+2J+2+2U2的解是8.写出因式分解的结果：©x3—7x2+36=.②(a+b—c)‘—(a'+b，+c')=.9.方程(a-x)3+(b-x)3=(a+b-2x)3的三个解是c172y=兀+——xc17y=的实数解是：fz=w=2z=y+—10.方程组〈y0丄172x=w+——
8、wc172w=z+—z11.有一个五位正奇数x,将x的所有2都换成5,所有5都换成2,其他的数字不变,得到一个新五位数记作y,若x,y满足等式y=2(x+l),那么x是如左图试问至少要用儿种颜色，才能给图中的各边正常着色.(正常着色是指使图中有公共顶点的相邻的边涂上不同的颜色)二.选择题(只有一个正确的答案)1.四边形的边a,b,c,d,满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd,那么这个四边形一定是()(A)矩形.(B)菱形.(C
