《实数理论》课件 (3).ppt

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1、实数理论1为什么要讲实数理论以往教材上关于实数处理的方式:以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定义以公理化方式定义实数来回避直接定义实数上述处理方式的缺陷:分割和基本列的方式定义需要引入一系列的工具，并且与中小学教材脱节公理化的方式使得学生困惑:实数变的难以理解了应当与中小学教材衔接并讲清实数:讲清十进小数2实数理论§1数系理论发展简史§2定义实数遇到的困难§3我们如何定义实数§4有理数系的性质§5实数定义§6实数的完备性§7实数的运算性质§8记号和实数的进一步性质3§1数系理论发展简史有趣的现象实数理论简史引入实数的方法数系理

2、论4有趣的现象数的使用几乎与人类的历史一样长,有人通过观察推断:动物有数感.在人类文明史中,数的概念是逐步扩展开来的.然而数的严格意义上的理论直到在十九世纪后半叶才完成.虽然欧几里德几何原本中已经讨论了可公度比和无公度比,但没有定义什么叫无公度比的相等建立数系理论为了完善数学分析理论建立数系理论是要保证数学的真实性,非欧几何的出现,几何失去了其真实性;数学在哲学意义上的真实性应当建立在算术基础上(Gauss1817)5实数理论是指以有理数系为基础建立实数理论以往的直观想法:有理数的极限,然而必须先存在才能谈极限WilliamR.Hamil

3、ton,1833,1835提出无理数的第一个处理,以时间作为实数的基础.提出用将有理数分成两类的方法定义无理数Weierstrass(1857),Méray(1869)Dedekind(1872),Cantor(1873)(来源于KlineIVP46-47)6引入实数的方法Weierstrass:有自然数出发定义正有理数,然后用无穷多个有理数集合定义实数Dedekind:有理数分割Canter:有理数基本列等价类7数系理论欧几里德的《几何原本》中的比例理论以及讨论了现在有理数中的相关结果,但是在比例线段的术语下讨论的.Muller1855

4、《一般算术》和Grassmann1861《算术》中有讨论,但是讲得不清楚Peano1889《算术原理新方法》引入Peano公理系统解决了这个问题。他用了许多符号:,和N0表示自然数集。8§2定义实数遇到的困难如何从有限小数过渡到无限小数基本想法都是利用有理数序列逼近(极限),这就有两个问题引入序列和极限等相关的概念即便如此,也要先定义清楚作为极限的实数虽然知道实数的众多性质,如何写出一个逻辑上正确、清晰和不难接受的实数理论仍然有待努力9§3我们如何定义实数与中学实数定义衔接，用十进小数定义实数系，然后建立相关的性质建立实数的序建立实数

5、的完备性利用有理数的运算和实数的完备性定义实数的运算10§4有理数系的性质自然数系及其运算有理数系的建立有理数的运算性质有理数的序性质和稠密性质有理数的不完备性11自然数系及其运算已经完成了逻辑地引入自然数系N={0,1,2,…}的过程(上一章引入的)加法运算就是数数,乘法运算就是一类特殊数数的方法.减法:对小的数加多少的到大的数除法:分组带余除法:确定组数和余数归纳法是论证工具12有理数系Q的建立有理数可以看成是由为了在自然数系中加、减、乘和除封闭而得到的最小集合自然数到有理数的逻辑扩展:由自然数及其笛卡尔积建立整数使得加、减、乘封闭;

6、由整数及其笛卡尔积建立有理数使得加、减、乘和除封闭自然数到有理数的直观扩展:引入负数和所有正整数份数13有理数的运算性质加法和乘法满足交换律:a+b=b+a,ab=ba与结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,a(bc)=(ab)c乘法与加法之间满足分配律:a(b+c)=ab+ac0是加法零元:a:a+0=a1是乘法单位元:a:a1=a每个数a有负数-a:a+(-a)=0每个非零数a有倒数1/a:a(1/a)=114有理数序的三歧性和稠密性有理数序的三歧性:a,bQ,则ab中有且仅有一种情形

7、成立序与加法和乘法的关系:a,b,cQ,a>ba+c>b+ca,b,cQ且c>0,a>bac>bc记号:ab表示ab或a=b有理数的稠密性:a,bQ,ac上确界的惟一性序的完备性:任何有上界的集合都有上确界有理数的不完备性:存在有理数有上界而没有上确

8、界的非空子集:例如{aQ

9、a>0,a^2<2}(习题)16§5实数定义实数的十进小数定义有理数的十进小数表示实数的序17实数的十进小数定义实数的十进小数定义:实数集合R定义为:{x:NZ

10、