概统教案Ch4.ppt

《概统教案Ch4.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、概率论与数理统计Probability&MathematicalStatistics袁永生教授第四章随机变量数字特征目前对随机变量的描述…例有甲乙两射手，他们的射击技术用下表表示，X、Y分别是他们命中的环数微观问题的本质：寻找指标，能刻画随机变量r.v.特性：取值有大小,取各值的概率不尽相同.类似问题，如预测粮食产量.问那个射手技术较好？一、离散型随机变量的数学期望定义：离散型随机变量X，其分布律为：§4.1数学期望(Expectation)若级数绝对收敛,则称级数的和为随机变量X的数学期望,记为E(X).即若级数

2、发散,则称X的数学期望不存在.绝对收敛的价值；数学期望的数学实质及物理意义.r.v.期望的物理意义:r.v.取值的概率权加权平均值.例X~B(n，p）二项分布即r.v.X的分布律为：求E(X)例X~（或）Poisson分布即r.v.X的分布律为：求E(X)二、连续型随机变量的数学期望定义设连续型r.v.X的密度函数为f(x),若积分绝对收敛,则称积分为连续型r.v.X的数学期望，记为E(X).的值即若发散,则称X的数学期望不存在.与离散型r.v.数学期望的数学实质及物理意义一致.数学期望简称期望.r

3、.v.取值的概率权加权平均值.例r.v.X的概率密度函数为：求E(X).解:例X~U(a，b)均匀分布求E(X).其概率密度函数为：求E(X).其概率密度函数为：例正态分布X~N()三、随机变量函数的数学期望定理设Y=g(X)，g为连续函数（i）X是离散型随机变量，其分布律为若绝对收敛，则有（ii）X是连续型随机变量，其密度函数为f(x)若绝对收敛，则有定理的数学实质解例r.v.X的分布律为：X205p0.40.10.5求E(2X2+X2).例r.v.X的概率密度函数为：求E(3X27X+8).解定理二维r.

4、v.(X,Y),Z=g(X,Y),g为连续函数（i）(X，Y)是离散型随机变量，其分布律为若绝对收敛，则有（ii）(X，Y)是连续型随机变量，其概密为若绝对收敛，则有例r.v.(X，Y)的密度函数为：求E(XY).解xy0主要关心(X,Y)为连续型Z=g(X,Y)=XY的期望1四、数学期望的性质(1)E(aX+b)=aE(X)+b,a,b为常数;(2)E(X+Y)=(3)若X与Y独立,则E(XY)=E(X)+E(Y);E(X)E(Y).E(X1+X2++Xn)=E(X1)+E(X2)++E(Xn);E(X1X2

5、Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn);若X1,X2,,Xn相互独立，则数学期望的计算:(1)用定义，先求得分布律或密度函数；(2)用性质，先进行随机变量分解。例某厂生产的一种设备的寿命X(以年计)服从参数λ=1/4的指数分布.工厂规定,售出的设备在一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.(Kb,p137,T22)例设有N个人，每个人将自己的帽子扔进屋子中央,把帽子充分混合后,每人再随机地从中取一顶,试求选中自己帽子的人数的

6、数学期望.数学期望计算时，随机变量分解方法多用于：求两态不独立重复，其中一态出现数的期望。§4.2方差(VarianceorDispersion)问题的提出设有两批灯泡，平均寿命都是1000h.第一批，寿命X绝大部分都在950~1050h；第二批，寿命Y一半约1800h，另一半寿命约200h.问哪批质量较好？两个r.v.取值特征上的差别：如何刻画？方差是衡量随机变量取值与其均值的平均偏离程度的一个数字特征。定义若E(X)存在，称E[XE(X)]2为r.v.X的方差，记为D(X)或Var(X).并称为X的均方差或标

7、准差.即D(X)=E[XE(X)]2离散型情况连续型情况常用计算公式:D(X)=E(X2)[E(X)]2.例有甲乙两射手，他们的射击技术用下表表示，X、Y分别是他们命中的环数求D(X),D(Y),并解释两方差的物理意义.解E(X)=9.3,E(Y)=9.1E(X2)=则D(X)=87.3－9.32=0.81,类似有D(Y)=0.49例X~B（n，p）二项分布即r.v.X的分布律为：例X~（或）Poisson分布即r.v.X的分布律为：例X~U(a，b)均匀分布密度函数为：密度函数为：例正态分布X

8、~N()最少应记住的两个分布的期望与方差：二项、正态(1)D(aX+b)=a2D(X),a,b为常数；(2)若X,Y独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y);若X1,X2,,Xn相互独立，则D(X1+X2++Xn)=D(X1)+D(X2)++D(Xn);+方差的性质(3)D(X)=0存在常数C，使P{X=C}=1,且C=E(X);(4)对任意CR,