概率论1-5.ppt

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1、§１.５全概率公式和贝叶斯公式看一个例子:1.5.1全概率公式例：有十件产品，其中三件次品，从中任取一件不放回，连取两次，求第二次取到次品的概率。解：令Ａ＝{第２次取到次品}，Ｂ＝{第１次取到正品}，则有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.解记Bi={球取自i号箱},i=1,2,3;A={取得红球}A发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，123其中B1、B2、B3两两互斥再看一个例子:将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计

2、算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到即A=AB1+AB2+AB3，且AB1、AB2、AB3两两互斥注意：若B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分,那么,对于每次试验,事件B1,B2,...,Bn中必有一个且仅有一个发生.定义1.5.1设Ω为试验E的样本空间,B1,B2,...,Bn为E的一组事件,若(1)BiBj=f,ij,i,j=1,2,...,n;(2)B1B2...Bn=Ω,则称B1,B2,...,Bn为样本空间的一个划分.

3、或称B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组.定理1.5.1设试验E的样本空间为Ω,A为E的事件,B1,B2,...,Bn为Ω的一个划分,且P(Bi)>0(i=1,2,...,n),则(1-11)式称为全概率公式.全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件分解成若干个已知的简单事件再求解，而这些简单事件组成一个互不相容事件组，使得某个未知事件Ａ与这组互不相容事件中至少一个同时发生，故在应用此全概率公式时，关键是寻找一个合适的样本空间的划分某一事件A的发生有各种可能的原因，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，则A发生的概率是每一原因都可能导致A发生

4、，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A

5、Bi)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.B1B2B3B4B5B6B7B8A诸Bi是原因A是结果该球取自哪号箱的可能性最大?这一类问题是“已知结果求原因”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱

6、的概率.1231红4白或者问:1.5.2贝叶斯公式再看一个例子:有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白?某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.记Bi={球取自i号箱},i=1,2,3;A={取得红球}求P(B1

7、A)运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?定理1.5.2设试验E的样本空间为Ω.A为E的事件,B1,B2,...,Bn为Ω的

8、一个划分,且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,...,n),则(1-12)式称为贝叶斯（Bayes）公式.该公式于1763年由贝叶斯给出.它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率.取n=2,并将B1记为B,此时例1某电子设备厂所用元件由三家元件厂供给,根据以往纪录有以下数据:元件制造厂次品率提供元件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三厂产品在仓库中混合摆放无区别标志.(1)在仓库中任取一只元件,求它是次品的概率;(2)如已取到一只次品,求它由各厂生产的概率分别是多少.例2据美国的一份资料，在美国总的

9、来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，求不吸烟者换肺癌的概率是多少？例3对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95％.试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整良好的概率是多少?贝叶斯公式在实际中有很多应用.它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.例4某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验

10、反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多