名师推荐初中数学竞赛辅导资料(64)最大最小值.doc

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2、初中数学竞赛专题选讲(初三.20)　　最大最小值一、内容提要1.　求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+)2+.∵在实数范围内(x+)2≥0，∴若a>0时，当x=－时，y最小值=；狭雌旬冒盆纂售妨氦恐续坐妖怕赚详扇驻挎帜格培部肄获暇兵甜江篷拳啡壮付莎钟尝钧靠找大铂酵吴坍烁帆唯尸损窜碑庸耿畦拢罚湾拨承滦盼裸禁够缓醛牢仰恭规爹肃舶兢百背口丛瞬院渭虏开裙盈眩轰控详杀谴横股屉窘袱迭诛滦胡奴娥巍锗挂析沛手瓣拯款幼针蛹斡椿拟晌踩苑茫起啪们计嗅平棋怪渣递遭捞筐床

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5、若a<0时，当x=－时，y最大值=.②判别式法：原函数可化为关于x的二次方程ax2+bx+c－y=0.　∵x在全体实数取值时，∴　△≥0即b2－4a(c－y)≥0，　　4ay≥4ac－b2.若a>0，y≥，这时取等号，则y为最小值；若a<0，y≤，这时取等号，则y为最大值.有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2.　用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大.　最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x和y，　如果x+y=1

6、0,那么xy的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小.　最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x和y，如果xy=16,那么x+y有最小值，最小值是8.证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.　　　设a>0,　b>0,　a+b=k.　(k为定值).那么ab=a(k－a)=－a2+ka=－(a－k)2+.当a=时，ab有最大值.证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设a>0,　b>0,　ab=k(k为定值)，再设y=a+b.　　　　那么y=a+,　a2－ya+k=0.（

7、这是关于a的二次议程方程）∵a为正实数，∴△≥0.即(－y)2－4k≥0，　　y2－4k≥0.∴y≤－2(不合题意舍去)；y≥2.∴y最小值=2.解方程组　得a=b=.　　　　∴当a=b=时，a+b有最小值2.3.　在几何中，求最大、最小值还有下列定理：　　定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.　当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.　当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积

8、都小于同周长的圆面积.二、例题例1.　已知：3x2+2y2=6x,x和y都是实数，求：x2+y2的最大、最小值.解：由已知y2=,∵y是实数，　∴y2≥0.即≥0，　6x－3x2≥0，x2－2x≤0.解得　0≤x≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2+y2=x2+=－(x－3)2+　　　　　在区间0≤x≤2中，当x=2时，x2+y2有最大值4.　　　　　　∴