初中数学竞赛精品标准教程及练习64:最大、最小值.doc

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(64)最大最小值一、内容提要1. 求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),的最大、最小值常用两种方法:①配方法:原函数可化为y=a(x+)2+.∵在实数范围内(x+)2≥0,∴若a>0时,当x=-时,y最小值=;若a<0时,当x=-时,y最大值=.②判别式法:原函数可化为关于x的二次方程ax2+bx+c-y=0. ∵x在全体实数取值时,∴ △≥0即b2-4a(c-y)≥0,  4ay≥4ac-b2.若a>0,y≥,这时取等号,则y为最小值;若a<0,y≤,这时取等号,则y为最大值.有时自

2、变量x定在某个区间内取值,求最大、最小值时,要用到临界点,一般用配方法方便.2. 用上述两种方法,可推出如下两个定理:定理一:两个正数的和为定值时,当两数相等时,其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.例如:两正数x和y, 如果x+y=10,那么xy的积有最大值,最大值是25.定理二:两个正数的积为定值时,当两数相等时,其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.例如:两正数x和y,如果xy=16,那么x+y有最小值,最小值是8.证明定理一,可用配方法,也叫构造函数法.   设a>0, b>0, a+b=k. (k为定值

3、).那么ab=a(k-a)=-a2+ka=-(a-k)2+.6当a=时,ab有最大值.证明定理二,用判别式法,也叫构造方程法.设a>0, b>0, ab=k(k为定值),再设y=a+b.    那么y=a+, a2-ya+k=0.(这是关于a的二次议程方程)∵a为正实数,∴△≥0.即(-y)2-4k≥0,  y2-4k≥0.∴y≤-2(不合题意舍去);y≥2.∴y最小值=2.解方程组 得a=b=.    ∴当a=b=时,a+b有最小值2.3. 在几何中,求最大、最小值还有下列定理:  定理三:一条边和它的对角都有定值的三

4、角形,其他两边的和有最大值. 当这两边相等时,其和的值最大.定理四:一条边和这边上的高都有定值的三角形,其他两边的和有最小值. 当这两边相等时,其和的值最小.定理五:周长相等的正多边形,边数较多的面积较大;任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1. 已知:3x2+2y2=6x,x和y都是实数,求:x2+y2的最大、最小值.解:由已知y2=,∵y是实数, ∴y2≥0.即≥0, 6x-3x2≥0,x2-2x≤0.解得 0≤x≤2.这是在区间内求最大、最小值,一般用配方法,x2+y2=x2+=-(x-3)2+   

5、  在区间0≤x≤2中,当x=2时,x2+y2有最大值4.      ∴当x=0时,x2+y2=0是最小值.例2. 已知:一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求:这个矩形周长、面积的最小值.解:用构造方程法.6设矩形的长,宽分别为a, b其周长、面积的数值为k.那么2(a+b)=ab=k.    即     ∴a和b是方程 x2-kx+k=0 的两个实数根.∵a, b都是正实数,∴△≥0. 即(-)2-4k≥0.解得k≥16;或k≤0.   k≤0不合题意舍去.∴当k≥16取等号时,a+b, ab的值最小,最小值是16

6、.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3. 如图△ABC的边BC=a,高AD=h,要剪下一个矩形EFGH,问EH取多少长时,矩形的面积最大?最大面积是多少?解:用构造函数法设EH=x,S矩形=y,则GH=.∵△AHG∽△ABC,∴. ∴y=.     ∴当x=时,y最大值=.即当EH=时,矩形面积的最大值是.例4. 如图已知:直线m∥n,A,B,C都是定点,AB=a,AC=b,点P在AC上,BP的延长线交直线m于D.问:点P在什么位置时,S△PAB+S△PCD最小?解:设∠BAC=α,PA=x,则PC=b-x.    

7、 ∵m∥n,∴.∴CD=S△PAB+S△PCD=axSinα+(b-x)Sinα=aSinα(=aSinα(2x+.6     ∵2x×=2b2(定值), 根据定理二,2x+有最小值.∴当2x=,x=时,S△PAB+S△PCD的最小值是 (-1)abSinα.例5.已知:Rt△ABC中,内切圆O的半径r=1.求:S△ABC的最小值.解:∵S△ABC=ab ∴ab=2S△.  ∵2r=a+b-c,   ∴c=a+b-2r.∴a+b-2r=.两边平方,得 a2+b2+4r2+2ab-4(a+b)r=a2+b2.  4r2+2

8、ab-4(a+b)r=0.     用r=1, ab=2S△代入, 得4+4S△-4(a+b)=0. a+b=S△+1.∵ab=2S△ 且a+b=S△+1.  ∴a, b是方程x2-(S△+1)x+2S△=0的两个根.∵a,b是正实数,    ∴△≥0, 即[-(S△+1)]2-4×2S△≥0,    S△2-6S△

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