C语言 用六种方法求定积分.doc

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1、C语言实验报告求定积分班级10信息与计算科学一班姓名戴良伟学号20107502211.描述问题利用①左矩形公式，②中矩形公式，③右矩形公式，④梯形公式，⑤simpson公式，⑥Gauss积分公式求解定积分。2.分析问题2.1定积分21.1定积分的定义定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积。即所包围的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边梯形。如下图：（图1）设一元函数,在区间内有定义。将区间分成个小区间。设，取区间中曲线上任意一点记做，作和式：若记λ为这些小区间中的最长者。当时，若此和式的极限存在，则称这个和式是函数在区间上的定积分。记作：　　其中

2、称为积分下限，为积分上限，为被积函数，为被积式，∫为积分号。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。21.2定积分的几何意义[1]它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a，x=b之间的各个部分面积的代数和。在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号。如图2.2言实现定积分计算的算法22.1利用复合梯形公式实现定积分的计算假设被积函数为，积分区间为，把区间等分成个小区间，各个区间的长度为，即，称之为“步长”。根据定积分的定义及几何意义，定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积。将积分区间等分，各子区间的

3、面积近似等于梯形的面积，面积的计算运用梯形公式求解，再累加各区间的面积，所得的和近似等于被积函数的积分值，越大，所得结果越精确。以上就是利用复合梯形公式实现定积分的计算的算法思想。复合梯形公式：[2]具体算法如下：算法一1：输入积分区间的端点值和；2：输入区间的等分个数（要求尽可能大，以保证程序运行结果有较高的精确度）；3：计算步长；4：对累加和赋初值；5：计算累加和6：算出积分值；7：输出积分近似值，完毕。1.2.2利用Smpson公式实现定积分的计算假设被积函数为，积分区间为，把区间等分成个小区间，各个区间的长度为。在复合梯形公式的基础上，构造出

4、一种加速计算积分的方法。作为一种外推算法，它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。具体算法如下：算法二1：输入积分上限和下限；2：输入区间的等分个数（要求尽可能大，以保证程序运行结果有较高的精确度）；3：利用辛甫生公式：[2]，实现对定积分的求解（其中，均为梯形公式计算所得的结果，由此可见辛甫生公式是以梯形公式为基础的）；4：算出积分值；5：输出积分近似值，完毕。1.2.3利用Guass公式实现定积分计算Guass型求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能

5、多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。通常运用的是-1---+1的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=(b-a)t/2+(a+b)/2变换到-1到1之间积分。算法三1：输入积分上限和下限；2：利用Guass公式，求定积分4：算出积分值；5：输出积分近似值，完毕。1.程序的编写3.1程序一（左矩形公式）3.1.1源程序#include#includevoidmain(){doublef(doublex);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/inti,n;/*n为

6、区间等分的个数，应尽可能大*/doublea,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf("积分下限a:");scanf("%lf",&a);printf("积分上限b:");scanf("%lf",&b);printf("区间等分个数n:");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n;/*步长的计算*/s=f(a)*h;for(i=1;i

7、ef(doublex){doubley;y=sqrt(4-x*x);return(y);}3.1.2程序一的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.2程序二（中矩形公式）3.2.1源程序#include#includevoidmain(){doublef(doublex);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/inti,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/doublea,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，

8、h为步长*/printf("积分下限a:");scanf("%lf",&a);printf("积分上限b