2011闫浩微积分习题及答案2~~.pdf

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1、作者：闫浩2011年9月微积分B(1)第二次习题课题目参考答案（第三周）一、数列极限的定义1．用极限定义证明(1)lim(n+1-n)=0n®¥证明："e>0，由于11

2、n+1-n

3、=<，n+1+nn1é1ù欲使

4、n+1-n

5、ê2ú便可．nëeûé1ù取N=ê2ú+1，则当nN>时，有

6、n+1-n

7、1，令n，则an>0，且lim(n)=1等价于liman=0．n®¥n®¥由于n12n12n=(1+an)=1+nan+n(n-1)an+

8、L+an>n(n-1)an，222所以00，取N=1+ê2ú，则当n>N时，有ëeû0>1,0。证明：lim0=nn®¥akknn[kk]++1[]1nn1提示：令a=1+>bb(0)，当nk>+[]1时，a=(1)+>bCb，

9、明：若单调数列具有收敛的子列，则此单调数列收敛．证明：不妨设{a}为一单调增加数列，{a}为{a}的一个子列，且lima==Aasup{}．nnknk®¥nnkk">e0，因为lkim®¥aAnk=，所以$>N00，当kN³0时，有aAnk-时，有A-e<£aa．nN0nnN0对于nn>N0，总存在kn，使得nnkn>，由单调性知aann£k．综上可知，当nn>N0时，总有A-e

10、im(a1n+1+a2n+2+L+amn+m)，其中a1+a2+L+am=0．n®¥解：因为a1+a2+L+am=0，所以(a12+a+L+anm)+=10．mm从而limåakn+k=limå[akn+k-akn+1]n®¥k=1n®¥k=1mk-1=limåak=0．n®¥k=1n+k+n+1n+1n+11éæ1+5öæ1-5öùF5．（1）已知数列F=êç÷-ç÷ú，求limn；n5êç2÷ç2÷ún®¥Fëèøèøûn+1nAn（2）己知(2+2)=A+B2,求lim；nnn®¥Bn解：（1）n+1n+1n+1æ1+5öæ1-5ö22æ1-5öç÷-ç

11、÷-ç÷Fçè2÷øçè2÷ø1+51+5çè1+5÷ø2nlim=lim=lim=»0.618n+2n+2n+2n®¥Fn®¥n®¥1+5n+1æ1+5öæ1-5öæ1-5öç÷-ç÷1-ç÷çè2÷øçè2÷øçè1+5÷øn1nn（2）由已知可得(2-2)=A-B2，于是A=[(2+2)+(2-2)]，nnn2Page2of10作者：闫浩2011年9月1nnB=[(2+2)-(2-2)]，所以n22næ2-2ö1+ç÷nnç÷An(2+2)+(2-2)è2+2ølim=lim2=lim2=2。nn®¥Bn®¥(2+2)n-(2-2)nn®¥æön2-21

12、-ç÷ç÷è2+2ø6．求下列极限2222（1）limsin(pn+1)（2）limsin(pn+n)n®¥n®¥æpö22222ç÷解：（1）limsin(pn+1)=limsin(pn+1-np)=limsin=0。n®¥n®¥n®¥ç2÷èn+1+nø2222（2）limsin(pn+n)=limsin(pn+n-np)n®¥n®¥æöæönppç÷=22ç÷==ç÷limsinlimsin1nn®¥èø2++®¥ç÷1nnnç÷11++èøn7.求极限1×3×5×L×-(2n1)（1）lim；n®¥2×4×6××L(2)n11éùêæmnönæm-nö

13、nú（2）limçåak÷+çåak÷，其中ak>0(k=1,2,L,m)．n®¥êúèk=1øèk=1øêëúû(n+1)2n111--kkkk(3)limå(4)limå[(nn+1)+-(1)]n®¥n®¥kn=2kk=1解：（1）解法1：因为1+33+5(2n-1)+(2n+1)2=>1×3，4=>3×5，…，2n=>(2n-1)(2n+1)，222所以1×3×5×L×(2n-1)1×3×5×L×(2n-1)10<<=，2×4×6×L×(2n)1×3×3×5×5×7×L×(2n-1)(2n+1))2n+111×3×5×L×(2n-1)由于lim=0，所

14、以lim=0．n®¥2n+1n®¥2×