计算机图形学第4章.ppt

《计算机图形学第4章.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第4章图形变换4.1二维图形变换4.2三维图形的基本变换4.3平行投影变换4.4透视投影变换4.5三维裁剪4.1二维图形变换一幅二维图形可以由若干直线连接而成，或者被看作由许多小直线段逼近而成。而一条直线段可以由始、末端点相连产生。因此，我们可以把一幅二维图形看成是一个点集。在X-Y平面内，如果一个点的坐标用行向量［xy］或列向量表示，则一个图形的点集就可以用n×2或2×n的矩阵表示如下：4.1.1点的变换二维空间中，点P(x,y)变换到另一位置P*(x*,y*)，可以用两个矩阵相乘来实现，即(4-1)(4-2)变换前的点P(x,y)称为源，变换后的

2、点P*(x*,y*)称为像，如图4.1.1所示。在式(4-1)中2×2矩阵称为变换矩阵，由式(4-2)可见，这种变换是线性变换。图4.1.1点的变4.1.2各种基本变换1.比例变换将几何图形放大或缩小的变换称为比例变换。实际上是将图形上点的x坐标及y坐标分别乘以比例因子a和d实现的，即用矩阵运算的形式表示为(4-3)式(4-3)中，称为比例变换矩阵。比例变换分两种情况。(1)当a=d时，点的x,y坐标等比例地放大或缩小。这种比例变换叫做等比变换，也称相似变换。从图4.1.2可见，变换前后的图形是以坐标原点为相似中心的相似形，变换后的△A*

3、B*C*成比例地放大并离开了原来的位置。因此，这种变换是以原点为中心的相似变换。图4.1.2平面图形的等比变换图4.1.3平面图形的不等比变换(2)当a≠d时，点x,y坐标不等比例地放大或缩小。这种变换称为不等比变换，如图4.1.3所示。2.反射变换变换前的图形与变换后的图形相对于某一直线或原点为对称的变换叫做反射变换，或称为对称变换。反射变换如图4.1.4所示，有以下几种情况：1)相对于X轴的反射变换点相对于X轴反射后，y坐标改变符号，而x坐标不变，即图4.1.4平面图形的反射变换用矩阵运算形式表示为式(4-4)中，是相对于X轴的反射变换矩阵。

4、(4-4)2)相对于Y轴的反射变换点相对于Y轴反射后，x坐标改变符号，而y坐标不变，即用矩阵运算形式表示为式(4-5)中，是相对于Y轴的反射变换矩阵。(4-5)3)相对于原点的反射变换点相对于原点反射变换后，其x、y坐标值均改变符号，即用矩阵运算形式表示为(4-6)中，是相对于原点的反射变换矩阵。(4-6)3.错切变换所谓错切变换，就是几何图形沿着某一坐标轴的方向产生不等量的移动，使图形发生错切变形。下面分两种情况进行讨论。1)沿X轴方向的错切变换在图4.1.5中，使正方形ABCD沿X轴方向错切成平行四边形A*B*C*D*。错切后的图形与Y轴

5、之间形成一错切角θ，从图中可知：令c=tanθ，并写成矩阵运算的形式为(4-7)其中，为沿X方向的错切变换矩阵。图4.1.5中的正方形ABCD经变换矩阵错切而成为平行四边形A*B*C*D*，ABCD上凡是平行于Y轴的直线，经错切后均与Y轴成θ角，而y坐标为0的点不动。在错切变换矩阵中，c>0时，图形沿X轴的正方向错切；而当c<0时，图形沿X轴的负方向错切，如图4.1.5中的是ABCD经变换矩阵错切后而形成的平行四边形。图4.1.5X方向的错切变换2)沿Y轴方向的错切变换在图4.1.6中，正方形ABCD经错切变换后形成平行四边形A*B*C*D*，图形上

6、凡与X轴平行的直线沿Y轴方向错切后均与X轴形成θ角，而x坐标等于0的点不动，同样可推导出点经错切后的坐标为(b=tanθ)矩阵运算表达式为(4-8)其中，为沿Y轴方向的错切变换矩阵。在中，当取b>0时，图形沿正Y方向错切；而取b<0时，图形沿负Y方向错切。图4.1.6Y方向的错切变换4.旋转变换如图4.1.7所示，平面上一点M(x,y)绕原点逆时针旋转θ角后至M*(x*,y*)，则M*的坐标为写出矩阵运算的形式为(4-9)式(4-9)中，为旋转变换矩阵。当逆时针旋转时，θ角取正值；顺时针旋转时，θ角取负值。图4.1.7点的旋转变换图4.1.8平面图形

7、的旋转变换【例】将顶点为A(2，0)，B(3，1)，C(4，0)的△ABC绕原点逆时针旋转30°变换为△A*B*C*，写出变换矩阵。解变换后的图形如图4.1.8所示，图形绕原点转θ角后，其形状不变。5.平移变换如图4.1.9所示，平移变换就是将图形沿X方向移动距离l，沿Y方向移动距离m，图形形状保持不变，图形各角点的坐标x、y分别增加了平移量l和m，即(4-10)图4.1.9平面图形的平移变换前面所述二维图形变换的形式为对于式(4-11)，无论方阵中的几何元素如何变化，都不能获得式(4-10)的形式。也就是说，不能用式(4-11)表示平移变换。我们

8、将T2×2矩阵扩展为T3×3矩阵，写成如下的形式(4-11)(4-12)然而，根据矩阵乘法定义