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1、2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当时，与等价的无穷小量是(A).(B).(C).(D). [B]【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当时，有；；利用排除法知应选(B).(2)曲线，渐近线的条数为(A)0.(B)1.(C)2.(D)3. [D]【分析】先找出无定义点，确定其是否
2、为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【详解】因为，所以为垂直渐近线；又，所以y=0为水平渐近线；进一步，=，==，于是有斜渐近线：y=x.故应选(D).(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是(A).(B).(C).(D). [C]【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解】根据定积分的几
3、何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：，F(3)是两个半圆面积之差：=，因此应选(C).(4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是(A)若存在，则f(0)=0.(B)若存在，则f(0)=0.(C)若存在，则存在.(D)若存在，则存在[D]【分析】本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0.若存在，则，可见(C)也正确，故应选(D).事实上，可举反例：在x=0处连
4、续，且=存在，但在x=0处不可导。(5)设函数f(x)在上具有二阶导数，且令,则下列结论正确的是(A)若，则必收敛.(B)若，则必发散.(C)若，则必收敛.(D)若，则必发散. [D]【分析】可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。【详解】设f(x)=,则f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(C);设f(x)=,则f(x)在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(B);又若设，则f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(A).故应选(D).(6)设曲线具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV
5、象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是(A).(B).(C).(D). [B]【分析】直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。【详解】设M、N点的坐标分别为.先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：;;;.故正确选项为(B).(7)设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是(A).(B).(C).(D).[A]【详解】用定义进行判定:令，得.因线性无关，所以又，故上述齐次线性方程组有非零解,即线性相关.类似可得(B),(C),(D)中的向量组都是线性无关的.(8)设矩阵,,则A与
6、B(A)合同,且相似.(B)合同,但不相似.(C)不合同,但相似.(D)既不合同,又不相似.[B]【详解】由得A的特征值为0,3,3,而B的特征值为0,1,1,从而A与B不相似.又r(A)=r(B)=2,且A、B有相同的正惯性指数,因此A与B合同.故选(B).(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(07、1次命中目标,由独立重复性知所求概率为：.故选(C).(10)设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y的条件下，Ｘ的条件概率密度为(A)． (B)．(C).(D)．[A]【详解】因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是=.因此选(A).二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上)(11)=【分析】先作变量代换，再分部积分。【详解】=(12)设f(u,v)为二元可微函数，，则=【详解】利用复合函数求
8、偏导公式，有=(13)二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为其中为任意常数.【详解】特征方程为，解得可见对应齐次线性微分方程的通解为设非齐次线性微分方程的特解为，代入非齐次方程可得k=−2.故通解为(14)设曲面，则=【详解】由于曲面关于平面x=0对称，因此=0.又曲面具有轮换对称性，于是======(15)设矩阵,则的秩为1.【详解】依矩阵乘法直接计算得,故r()=1.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于的概率为
