矢量场与标量场以及计算方法.ppt

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1、标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量与散度矢量场的环量与旋度亥姆霍兹定理电磁场的特殊形式电磁场与电磁波VectorAnalysis（矢量分析）1标量场和矢量场补充：01.矢性函数在二维空间或三维空间内的任一点P，它是一个既存在大小(或称为模)又有方向特性的量，故称为实数矢量，一般用黑体A表示。若用几何图形表示，它是从该点出发画一条带有箭头的直线段，直线段的长度表示矢量A的模，箭头的指向表示该矢量A的方向。矢量一旦被赋予物理单位，便成为具有物理意义的矢量，如电场强度E、磁场强度H、速度v等等。而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会发

2、生变化的矢量，这种矢量我们称为变矢，如沿着某一曲线物体运动的速度v等。若某一矢量的模和方向都保持不变，此矢量称为常矢，如某物体所受到的重力。设t是一数性变量，A为变矢，对于某一区间G［a,b］内的每一个数值t,A都有一个确定的矢量A(t)与之对应，则称A为数性变量t的矢性函数。记为而G为A的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三个坐标分量都是变量t的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则矢性函数A(t)也可用其坐标表示为其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴正向单位矢量。终点一般称为矢性函数A(t)的矢端曲线。图1-1直角坐

3、标系中一点的投影1）标量积任意两个矢量A与B的标量积(ScalarProduct)是一个标量，它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积，如图1-2所示，记为图1-2标量积02.矢量的乘积矢量的乘积包括标量积和矢量积。A·B=ABcosθ任意两个矢量A与B的矢量积（VectorProduct）是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量A与B组成的平面，如图1-3所示，记为矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律A×B=-B×A2）矢量积C=A×B=enABsinθen=eA×eB（右手螺旋）图1-3矢量积的

4、图示及右手螺旋(a)矢量积(b)右手螺旋1.标量场和矢量场场：如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。换句话说，在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。（物理量的值可相等）场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内，除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的。若该物理量与时间无关，则该场称为静态场；若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个

5、点都有一个确定的标量或矢量。例如，在直角坐标下：标量场在研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间的分布状态时，数学上只需用一个代数变量来描述，这些代数变量(即标量函数)所确定的场为标量场，如温度场T(x,y,z)、电位场φ(x,y,z)、高度场等。矢量场然而在许多物理系统中，其状态不仅需要确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就需要用一个矢量场来描述。例如电场、磁场、流速场等等。其方程为:图0.1.1等高线(1)标量场--等值线(面)形象描绘场分布的工具——场线思考在某一高度上沿什么方向高度变化最快？2.标量场的等值面该曲面上任一点的函数值

6、相等等值面充满了场所在的空间是单值函数，因此等值面不相交三维场二维场图0.1.2矢量线3矢量场--矢量线（力线）其方程为：在直角坐标下：目的：形象地描绘矢量场A的分布特点：(1)它上面每一点处的切线方向都与矢量场在该点的方向相同(2)矢量场中的矢量线也充满了整个场域，但它们互不相交图1-4矢量场的矢量线物理意义：矢量线和场量的变化方向一致矢量管：通过场域某一曲面s上的所有点的矢量线的全体构成的管状区域。图1-5矢量管0.2标量场的梯度GradientofScalarField1.方向导数：设一个标量函数(x，y，z)，若函数在点P可微，则

7、在点P沿任意方向l的变化率称为方向导数，即设式中,,分别是任一方向与x,y,z轴的夹角则有：当，最大标量函数沿l方向的方向导数就是矢量g在l上的投影。表明：也就是只有当l的方向和g的方向一致时，方向导数才取得最大值。l的方向和g的方向垂直时，方向导数为零l的方向和g的方向相反时，方向导数为-1，取得最小值，此时减小的最快——梯度(gradient)——哈密顿算子式中图0.1.3等温线分布梯度的方向为该点最大方向导数的方向。梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即最大方向导数。标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。梯度的意义2.梯度读作

8、“del(代尔)”或“nabla(那勃拉)”)☻标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系，这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研究，或者说标量场可以