（文理通用）江苏省高考数学专题四函数与导数、不等式第20讲导数与函数的零点问题练习.docx

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1、第20讲导数与函数的零点问题1．若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)＝k有3个解，求实数k的取值范围．解：(1)对函数f(x)求导得f′(x)＝3ax2－b，由题意知解得所以f(x)＝x3－4x＋4.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)－因此，当x＝－2时，f

2、(x)有极大值；当x＝2时，f(x)有极小值－.所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如图所示．因为方程f(x)＝k的解的个数即为y＝k与y＝f(x)的交点个数．所以实数k的取值范围是.2．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.71828….(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．解：(1)证明：由h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x得，h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－>0，且h(x)在区

3、间(1,2)上是连续的，所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点．(2)由(1)得h(x)＝ex－1－－x.由g(x)＝＋x知，x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点，而h(x)在(1,2)内有零点，因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点．因为h′(x)＝ex－x－－1，记φ(x)＝ex－x－－1，则φ′(x)＝ex＋x－.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)上至多只有一个零点，即h(x)在[0，＋∞)上至多有两个零点．所以方程f(x)＝g

4、(x)的根的个数为2.3．已知函数f(x)＝aex＋x2－bx(a，b∈R)．(1)设a＝－1，若函数f(x)在R上是单调递减函数，求b的取值范围；(2)设b＝0，若函数f(x)在R上有且只有一个零点，求a的取值范围．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－ex＋x2－bx，∴f′(x)＝－ex＋2x－b，由题意知，f′(x)＝－ex＋2x－b≤0对x∈R恒成立．由－ex＋2x－b≤0，得b≥－ex＋2x.令F(x)＝－ex＋2x，则F′(x)＝－ex＋2，由F′(x)＝0，得x＝ln2.当x＜ln2时，F′(x)＞0，F(x)单调递

5、增，当x＞ln2时，F′(x)＜0，F(x)单调递减，从而当x＝ln2时，F(x)取得最大值2ln2－2，∴b≥2ln2－2，故b的取值范围为[2ln2－2，＋∞)．(2)当b＝0时，f(x)＝aex＋x2.由题意知aex＋x2＝0只有一个解．由aex＋x2＝0，得－a＝，令G(x)＝，则G′(x)＝，由G′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x≤0时，G′(x)≤0，G(x)单调递减，故G(x)的取值范围为[0，＋∞)；当0＜x＜2时，G′(x)＞0，G(x)单调递增，故G(x)的取值范围为；当x≥2时，G′(x)≤0，G(x)单调

6、递减，故G(x)的取值范围为.由题意得，－a＝0或－a＞，从而a＝0或a＜－，故若函数f(x)在R上只有一个零点，则a的取值范围为∪{0}．4．已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．①设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点．②设a>0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(

7、－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b<0且b(b－2)＋a(b－1)2＝a>0，故f(x)存在两个零点．③设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．若a≥－，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增．又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．若a<－，则ln(－2a)>1，故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0.因

8、此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增．又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．综上，a的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x1